Stasera, poco dopo il tramonto…

…ho aperto la finestra della mia camera per chiudere le persiane, e ho trovato ad aspettarmi nientemeno che Venere e Giove:

(Perdonate la pessima qualità dell’immagine: con una compatta e senza cavalletto, è davvero difficile fare di meglio.)

Niente male, no? Sì, lo so che nei giorni scorsi ci sono state molte altre congiunzioni spettacolari, ma abbiate pazienza… qui saremmo dei fisici matematici, e si diventa astrofili solo a tempo perso

L’italia in una immagine

Mi sembra che la vicenda del naufragio della Costa Concordia sia uno specchio perfetto dell’Italia attuale. Da quanto si è capito finora sulla dinamica dell’incidente, abbiamo: una prassi di costante violazione delle regole (passaggio fuori rotta di diversi chilometri per il «saluto» all’isola del Giglio); una serie di grossolani errori di valutazione; il tentativo, tanto pervicace quanto inutile, di negare il disastro appena avvenuto («abbiamo solo un piccolo guasto tecnico»); un comandante che, invece di coordinare le operazioni di salvataggio, fugge vigliaccamente dalla nave che affonda. Le sue prime dichiarazioni sono, con il senno di poi, sconcertanti: «La manovra era del tutto regolare» (la rotta ufficiale passa a 5 miglia dall’isola). «Quella secca non era segnata sulle carte nautiche» (gli scogli contro cui si è infranta la Concordia, detti Le Scole, sono noti da circa 2500 anni). «Ho cercato di salvare i passeggeri» (e infatti è stato tra i primi ad arrivare a terra).

Ecco: se dovessi individuare una singolo comportamento che caratterizza l’Italia dell’era berlusconiana, sceglierei proprio questo: la negazione dell’evidenza. Non è vero che nessuno vuole più i nostri titoli di stato perché non cresciamo da vent’anni e il debito pubblico è fuori controllo: sono gli speculatori brutti e cattivi che ci hanno preso di mira. Non è vero che ho rubato la Mondadori: sono i giudici politicizzati che ce l’hanno con me. Non è vero che ho pagato 600.000$ a Mills perché dicesse il falso in tribunale: è che lui ha fatto il mio nome per coprire un tizio che non conosce nessuno. Non è vero che ho fatto uscire Karima El Mahroug dalla questura perché faceva parte del mio giro di prostitute: credevo davvero che fosse la nipote del presidente egiziano. E poi io do una mano a chiunque me la chieda.

Un posticino niente male…

Penso che le immagini parlino decisamente da sole. Meraviglia.

Signori, chapeau

Non so bene perché, ma non appena ho cliccato su play mi è venuto il sospetto che l’omino che si muoveva per lo schermo fosse Trurl; sospetto che è divenuto certezza quando è apparso il robot gigantesco secondo cui 2+2 fa 7. Nulla da aggiungere, se non: questa è classe.

Aggiornate le vostre tavole periodiche!

Qualche giorno fa ho appreso da Wikipedia che IUPAC e IUPAP (organizzazione, quest’ultima, di cui ignoravo l’esistenza) hanno definitivamente approvato i nomi di darmstadtio, roentgenio e copernicio per gli elementi di numero atomico da 110 a 112. Tutti e tre sono stati sintetizzati per la prima volta intorno alla metà degli anni ’90 al GSI di Darmstadt, il che spiega i nomi «teutonici» a loro attribuiti. Se volete stare al passo coi tempi vi conviene quindi mettere subito mano alla vostra tavola periodica (ogni geek che si rispetti ne ha almeno una in casa) e aggiornare le caselline corrispondenti nell’ultima riga!

A tal proposito, ricordo che ai miei tempi (cioè quando facevo le superiori) le tavole periodiche di solito finivano con i primi due transattinidi, ovvero gli elementi 104 e 105, che erano chiamati rispettivamente rutherfordio e hahnio, e sui libri c’era scritto che questi due elementi erano stati scoperti nel 1969 e nel 1970 da un team di fisici nucleari operante all’Università di Berkeley guidato dal leggendario Glenn Seaborg e dal suo allievo Albert Ghiorso (cognome di chiarissime origini italiane, e anzi azzarderei liguri). Ma le cose non stavano proprio così, o meglio quella scritta sui libri non era tutta la verità: i medesimi elementi erano infatti stati ottenuti circa tre anni prima anche dal team avversario di quello di Seaborg, operante al JINR di Dubna, nell’allora Unione Sovietica. Considerato che in quel periodo si era in piena guerra fredda, non è difficile immaginare come siano andate le cose: ciascuno dei due gruppi si rifiutò di riconoscere la scoperta dell’altro e l’attribuzione di un nome ai due nuovi elementi divenne un caso diplomatico. I Paesi del blocco occidentale (tra cui l’Italia, e quindi i miei libri di testo) adottarono i nomi sopra ricordati, proposti dagli americani; i Paesi del blocco sovietico optarono invece per i nomi di kurchatovio e nielsbohrio. (Sicuramente non aiutò a raffreddare gli animi il fatto che quell’Igor Kurchatov al quale i sovietici volevano intitolare l’elemento 104 fosse stato il direttore del progetto che portò l’URSS a ottenere la bomba nucleare nel 1949.) La controversia sarà risolta solo nel 1997 (quindi ben dopo il collasso dell’Unione Sovietica), quando finalmente viene trovato un compromesso che mette d’accordo tutti: così oggi l’elemento 104 ha mantenuto la denominazione “occidentale” di rutherfordio, mentre l’elemento 105 viene chiamato dubnio a parziale riconoscimento del ruolo svolto dai ricercatori del laboratorio sovietico. (In tutto ciò, il povero Otto Hahn è purtroppo rimasto «senza sedia», il che è un vero peccato viste le qualità morali dell’individuo, che vi invito ad approfondire visitando il link precedente.)

Ma non era di tali frivolezze che volevo parlare oggi, bensì proprio di questo vecchio arnese:

L’avete riconosciuta? È proprio lei, la tavola periodica, così come è stata proposta inizialmente da Dmitri Mendeleev nel 1869 (anche se l’idea in sé non era del tutto nuova). Naturalmente all’epoca molti elementi erano ancora sconosciuti ma il principio fondamentale, cioè quello di elencare gli elementi in ordine di peso atomico crescente mettendo uno di fianco all’altro quelli chimicamente affini, è già ben chiaro. La gran parte dei buchi verrà riempita nel periodo tra la fine del diciannovesimo e l’inizio del ventesimo secolo, e grazie all’opera di numerosi altri fisici la tavola periodica assumerà infine la forma che oggi ci è più familiare:

Familiare, ma fino a che punto corretta? Secondo alcuni, come ad esempio John Denker, ci sono ottime ragioni per ritenere fuorviante il classico layout “a blocchi” della tavola periodica, perché in tale rappresentazione alla somiglianza tra elementi non corrisponde sempre la vicinanza delle rispettive caselle. Ad esempio, elementi affini come calcio e zinco si trovano molto lontani tra loro perché devono “fare spazio” ai restanti metalli di transizione. Lo stesso problema, ancora più accentuato, si riscontra con lantanio e lutezio, che pur essendo chimicamente simili si trovano ai capi opposti della serie dei lantanidi.

Il rimedio proposto da Denker è molto semplice: se vogliamo avere una rappresentazione più fedele dell’affinità tra i vari elementi occorre abbandonare le tavole bidimensionali e costruirne una in tre dimensioni! Per capire il senso di un simile suggerimento può essere utile la seguente analogia. Come immagino sappiate, è impossibile rappresentare la superficie di una sfera su un piano in maniera tale da preservare le distanze e gli angoli (e magari un giorno parleremo anche del perché ciò accade). Ciò comporta che ogni mappa della superficie terrestre debba necessariamente introdurre discontinuità e distorsioni, come avviene ad esempio nella celebre proiezione di Mercatore, che rende le zone vicino ai poli più grandi di quanto in realtà non siano:

o nella meno celebre proiezione di Fuller, che resta più fedele alla reale forma dei continenti al prezzo di introdurre dei tagli arbitrari:

Allo stesso modo i difetti della rappresentazione “standard” della tavola periodica accennati in precedenza possono essere interpretati come una conseguenza del fatto che stiamo cercando di disegnare su un piano un oggetto la cui geometria intrinseca non è piatta.

Seguendo fino in fondo questa idea, Denker ha costruito una tavola periodica che lui stesso definisce a forma di «cilindro con rigonfiamenti» (mentre Wikipedia la definisce, più poeticamente, «a forma di fiore»); qui di seguito ne trovate una visuale, e sul suo sito ci sono le altre (e le istruzioni per costruirne una):

Notate come calcio e zinco siano ora fisicamente vicini (be’, lo zinco ve lo dovete immaginare ma c’è, sull’altro lato del foglio) e, oltretutto, entrambi collocati “sotto” (in un certo senso) al magnesio, di cui condividono le proprietà chimiche. Stesso discorso (e questo sì che si vede bene dalla foto qui sopra) per lantanio e lutezio, che ora si trovano vicini tra loro ed entrambi direttamente sotto all’ittrio, loro parente stretto.

Quello di Denker non è comunque l’unico layout non-standard della tavola periodica. Un altro che trovo particolarmente carino è quello a forma di galassia ideato da Philip Stewart, in cui la progressione dei numeri atomici forma una spirale e gli elementi chimicamente affini formano i «bracci» della galassia:

ma c’è veramente l’imbarazzo della scelta, come testimoniano le centinaia di tavole periodiche che potete trovare in questo database online. Senza contare, ovviamente, l’upgrade più radicale di tutti: quello da immagine statica a tavola interattiva.

Le rivoluzioni non insegnano niente

Come avrete notato questo blog è rimasto silente sulla questione dei presunti neutrini che viaggiano a velocità superluminale. (Per chi fosse stato su Marte nell’ultimo mese, qui c’è un ottimo riassunto — per una volta, in italiano — della vicenda.) La ragione di questo silenzio è molto semplice: è mia opinione che la misura in questione sia errata. La penso così innanzitutto perché si tratta  di un esperimento delicatissimo, che è stato effettuato con un apparato che non era stato pensato per misure di questo tipo (lo scopo originale dell’esperimento OPERA era infatti quello di misurare l’entità delle oscillazioni dei neutrini in neutrini ), circostanza questa che certo non aiuta a stimare correttamente le possibili fonti di errori sistematici, e soprattutto a stimarle con una precisione così elevata come quella richiesta dall’entità degli effetti in gioco (che è veramente minima). Inoltre ritengo molto significativo il fatto che una parte minoritaria (ma comunque consistente) della collaborazione non abbia firmato l’articolo in questione, il che significa che anche all’interno del gruppo di OPERA vi sono dei dubbi sulla correttezza dell’analisi effettuata.

Detto questo, trovo comunque molto interessante ciò che è successo (e sta continuando a succedere) in seguito all’annuncio di OPERA. Dal punto di vista prettamente tecnico si sono letteralmente “aperte le gabbie”: così su Internet in generale, e sull’arXiv in particolare, è possibile trovare da un lato una schiera di improvvisati fisici sperimentali che non esitano a suggerire possibili errori sistematici nell’esperimento (alcuni dei quali talmente banali da risultare persino offensivi per i poveri fisici di OPERA), e dall’altro una ancor più nutrita schiera di teorici che si è affrettata a proporre possibili spiegazioni per l’effetto (credo che chiunque abbia mai lavorato in vita sua su modelli in cui c’è una rottura dell’invarianza di Lorentz sia uscito con un preprint nell’ultimo mese).

Ma ancora più interessante, almeno a mio avviso, è quello che è successo dal punto di vista della comunicazione (o, per usare un termine mai abbastanza vituperato, «divulgazione»). Qui abbiamo assistito al prevedibile putiferio che un annuncio del genere («scoperta una violazione della relatività di Einstein!») poteva suscitare, e sono fioccati titoli quali «Einstein aveva torto», «Tanti saluti alla teoria della relatività», e così via. Ora, finché affermazioni del genere arrivano da persone cui manca la forma mentis scientifica (e la maggioranza dei giornalisti, purtroppo, rientra in questa categoria) ci si può passare sopra; ma il problema è che anche scienziati di un certo calibro hanno espresso concetti analoghi. Per esempio apprendo da questo post del sempre interessante Philip Gibbs che John Ellis, in un documentario andato in onda sulla BBC, ha dichiarato:

“If the speed of light turned out not to be absolute, we would just have to tear up all the textbooks and start all over again.”

Con tutto il rispetto per Ellis, vorrei mettere in chiaro che questa scritta qui sopra è una castroneria gigantesca (per non scendere nel volgare). Nella scienza non accade mai che si debba «ripartire da capo», per un semplice motivo: la scienza è per sua natura progressiva. Nessuna teoria che abbia dimostrato la sua efficacia per una classe sufficientemente ampia di fenomeni (e la relatività rientra senza dubbio tra queste) viene mai buttata via del tutto, anche qualora essa venga refutata da osservazioni successive. Per avere un esempio egregio di quanto affermo è sufficiente dare un’occhiata al programma di un corso universitario di Fisica del primo anno, il cui argomento principale è… la meccanica classica, teoria che è stata refutata da innumerevoli esperimenti nel corso dell’ultimo secolo! Nonostante ciò, pare proprio che i libri di testo di meccanica non siano stati «stracciati», e il motivo è semplice: se voglio sapere, ad esempio, di quanto si allunga una certa molla quando vi attacco un certo peso, non tirerò certo in ballo la dinamica relativistica (o men che meno la meccanica quantistica): userò invece la cara vecchia , perché in tale ambito è perfettamente adeguata a descrivere il fenomeno che mi interessa. E allo stesso modo, quando la relatività sarà refutata (e prima o poi accadrà, anche se mi permetto di dubitare che sarà grazie a OPERA), nessuno farà il giro delle librerie per stracciare i libri di Pauli, Møller, Rindler e compagnia; semplicemente, si andrà alla ricerca di una nuova teoria in grado di descrivere i fenomeni nuovi e allo stesso tempo salvare i fenomeni già spiegati dalla relatività (esattamente come fa quest’ultima in relazione alla meccanica classica).

Ora, questo discorso fa davvero parte dell’ABC della (filosofia della) scienza; magari sarò un ingenuo, ma mi aspetterei che uno che occupa una cattedra di fisica teorica intitolata a Maxwell ed è stato (tra le altre cose) direttore di divisione al CERN non cada in errori del genere. Ovviamente è anche possibile che Ellis abbia semplicemente voluto tirare fuori una frase ad effetto per fare più impressione su di un pubblico generalista, ma dal mio punto di vista questo non lo giustifica affatto; anzi è un’aggravante, perché contribuisce a dare un’idea distorta della scienza al grande pubblico.

Aggiornamento (28/10): Per avere un’idea della quantità di preprint che hanno fatto seguito (in poco più di un mese!) all’annuncio di OPERA consiglio di dare un’occhiata a questa bibliografia sull’argomento, in particolare alla sezione 8 (dove, nel momento in cui scrivo, siamo a 108 and counting).

In memoriam: D.R., 1941-2011

#include <stdio.h>

main()

{
    printf("goodbye, world\n");
}

Non ricordo di preciso a quando risale il mio primo incontro col K&R. Mio fratello era probabilmente al secondo anno di università (al primo si studiava il Modula-2), quindi io avrò avuto tra i 12 e i 13 anni. Ho ancora bene in mente però l’impressione di curiosità che quel libro, con la sua buffa copertina bianca sulla quale campeggiava una grande C azzurra, aveva destato rapidamente in me una volta entrato in casa.

Un’altra cosa che ricordo bene è che quando iniziai a leggerlo, partendo diligentemente dalla prefazione (abitudine questa che mi è rimasta ancora oggi, per ogni tipo di libro), ci fu un passaggio che mi colpì in modo particolare. Siccome in questo momento non ho sottomano (e non posso reperire in alcun modo) una copia dell’edizione italiana, non posso fare altro che citarvi il paragrafo corrispondente dell’edizione originale:

In our experience, C has proven to be a pleasant, expressive, and versatile language for a wide variety of programs. It is easy to learn, and it wears well as one’s experience with it grows. We hope that this book will help you to use it well.

Ricordo che commentai la cosa con mio fratello, facendogli notare che a giudicare da questa descrizione il C sembrava una figata incredibile. Mio fratello (che non aveva letto la prefazione: per lui quello era un libro da studiare, non da leggere per diletto!) diede un’occhiata a quel passaggio e commentò: «Secondo me ci stanno prendendo per il culo».

In effetti non so se imparare il C da quel libro sia davvero un’esperienza “facile” o “piacevole” come la descrivono K&R, però so che a quel libro, e di conseguenza ai suoi due autori, sono rimasto un po’ affezionato, anche adesso che il C non lo uso quasi più. E così, quando oggi ho appreso della morte di Dennis Ritchie, il rubinetto della mia memoria ha perso un po’; e invece di lasciarli scorrere via, ho pensato bene di raccogliere i pochi ricordi che ne sono usciti in questo post. Dopotutto i blog dovrebbero servire anche a questo… almeno credo.

La nascita della meccanica quantistica, parte 4: il Dreimännerarbeit

(Indice delle puntate precedenti: parte 0, parte 1, parte 2, parte 3)

Nelle ultime due puntate abbiamo assistito alla nascita e ai primi passi della meccanica quantistica nella sua prima incarnazione, quella che diventerà nota con il nome di meccanica delle matrici. Il tutto è avvenuto in maniera sorprendentemente rapida, tanto che a metà del settembre 1925 i tempi sono già maturi per una prima esposizione sistematica della nuova teoria. Fino a questo momento i tre protagonisti principali della nostra storia, ovvero Heisenberg, Born e Jordan, hanno agito per lo più separatamente; li ritroveremo ora a lavorare di concerto per mettere assieme i pezzi del puzzle e formare un quadro coerente. Il risultato sarà un celebre articolo firmato da tutti e tre, che per questo motivo è ricordato nella storia della fisica semplicemente come il Dreimännerarbeit.

Prima di descrivere questi sviluppi, però, torniamo per un attimo a Heisenberg, che abbiamo un po’ perso di vista a seguito della sua precipitosa partenza da Göttingen subito dopo la consegna del manoscritto a Born. La sua destinazione è Cambridge, dove è stato invitato a tenere un ciclo di seminari presso il Cavendish Laboratory. Quest’ultimo è da circa 50 anni il centro indiscusso della fisica inglese: basti pensare che, dalla data della sua fondazione fino a quel momento, la posizione di direttore del dipartimento è stata occupata, nell’ordine, da Maxwell, Rayleigh, J. J. Thomson per finire nientemeno che con il grande Rutherford.

Heisenberg arriva dunque a Cambridge dove è ospite di Ralph Fowler, trentaseienne fisico originario dell’Essex, genero di Rutherford e fresco di nomina a Fellow della Royal Society; i due si erano conosciuti qualche tempo prima a Copenhagen, dove erano stati entrambi ospiti dell’istituto di Bohr. Durante il suo soggiorno inglese Heisenberg tiene vari seminari su diversi argomenti di fisica atomica; il più importante è quello che si svolge il 28 luglio al «Kapitza Club», un ciclo di incontri a cadenza settimanale organizzato da Peter Kapitsa (futuro scopritore della superfluidità) che in quel momento è il direttore delle ricerche sul magnetismo al Cavendish. Il seminario, dal curioso titolo «Sulla zoologia dei termini spettrali e la botanica dell’effetto Zeeman», verte ancora una volta sulle difficoltà che si incontrano nell’organizzare i dati della spettroscopia atomica, ma nonostante la platea estremamente qualificata a cui si trova di fronte, o forse proprio per questo motivo, Heisenberg non fa alcun accenno alle idee contenute nel suo ultimo lavoro, presumibilmente perché non si sente ancora del tutto sicuro della loro correttezza. Tuttavia parla di queste idee privatamente con Fowler, che riesce a strappargli la promessa di farsi mandare una copia del suo manoscritto non appena possibile.

Terminata la parentesi inglese Heisenberg ritorna in Germania, ma non a Göttingen; si ferma infatti a Monaco, per qualche settimana di meritata vacanza a casa dei suoi genitori. Il primo indizio che, nel frattempo, qualcosa di molto grosso sta bollendo in pentola gli arriva a metà agosto, quando una lettera di Born gli chiede di mandare un’altra copia del suo articolo a Jordan. Heisenberg accetta di buon grado e ne approfitta per chiedere a quest’ultimo di essere messo al corrente degli sviluppi:

Ho saputo da Born che hai fatto grandi progressi riguardo la meccanica quantistica e naturalmente sarei interessato, anzi entusiasta, di sapere qualcosa dei tuoi risultati…

La risposta di Jordan (che non conosciamo) non placa la sete di dettagli di Heisenberg, che in una nuova lettera datata 10 settembre ritorna alla carica:

Caro Jordan! Mi ha fatto molto piacere sapere che pensi di aver trovato una dimostrazione della formula di Bohr per le frequenze, e ti prego di scrivermela il più presto possibile, direttamente a Copenhagen, poiché da dopodomani in avanti tornerò anch’io a dedicarmi alla fisica…

Infatti le vacanze per Heisenberg sono finite: le voci sull’importanza del suo ultimo lavoro sono giunte anche in Danimarca e Niels Bohr, che in quel momento si sente più che mai il padrino della fisica atomica, pensa bene di invitarlo per un mese nel suo istituto per farsi spiegare le novità direttamente dal loro autore.

Jordan risponde alla richiesta del suo collega con una bozza delle prime due sezioni di quello che, da lì a pochi giorni, diventerà il suo articolo con Born; bozza che Heisenberg trova ad aspettarlo al suo arrivo a Copenhagen, e legge d’un fiato. Il 13 settembre scrive a Jordan ringraziandolo per l’invio e annunciando a sua volta nuovi progressi da parte sua:

Essendo qui da due giorni non ho avuto modo di pensare più di tanto. Comunque mi è venuta in mente una deduzione molto semplice della teoria della dispersione di Kramers sulla base del nuovo formalismo…

Qui Heisenberg si riferisce alla teoria della diffusione della luce da parte degli atomi a cui lui stesso aveva lavorato con Kramers un anno prima. Nei conti che seguono, Heisenberg introduce due idee che si riveleranno molto importanti. Anzitutto abbozza una prima versione di quella che oggi conosciamo con il nome di teoria delle perturbazioni (al primo ordine): suppone cioè che l’hamiltoniana si possa scrivere come e procede poi sviluppando tutte le quantità in gioco, a iniziare dalle matrici e , come serie di potenze in , il che rende fattibili i calcoli anche per sistemi più realistici di quelli, molto semplici, che aveva considerato nel suo articolo di giugno.

La seconda idea importante, presa per analogia dalla meccanica classica, è quella di trasformazione canonica. Heisenberg definisce tale concetto nel nuovo formalismo come una qualunque trasformazione delle matrici e che lascia invariata la quantità . Proprio come nella meccanica hamiltoniana ogni trasformazione canonica è generata da una funzione delle coordinate e , Heisenberg propone che nella nuova meccanica le trasformazioni canoniche siano generate da una matrice tramite una formula del tipo

(con la serie che prosegue con un numero sempre maggiore di commutatori con ), e analogamente per . La relazione fondamentale viene infatti preservata da tali trasformazioni. Il problema del moto diventa allora quello di trovare la trasformazione canonica, o meglio la sua matrice generatrice , che rende diagonale la matrice hamiltoniana ; problema che Heisenberg riesce a risolvere, quantomeno formalmente, in teoria delle perturbazioni.

Il 15 settembre anche Born, conclusa la sua vacanza in Svizzera, fa il suo ritorno a Göttingen; comincia così una fitta corrispondenza tra la cittadina sassone e la capitale danese, che ben presto si allarga anche ad Amburgo, dove Pauli è come sempre in costante contatto con l’amico/collega/rivale Heisenberg.

Non tutto fila liscio sin dal principio, comunque. Ad esempio, Born resta perplesso dal fatto che Heisenberg, nei suoi conti, abbia considerato solo trasformazioni lineari nelle matrici di partenza e . Secondo Born, la cosa più naturale da farsi è invece utilizzare una generica trasformazione di similitudine:

e

Risulta allora , quindi se è un multiplo della matrice identità allora lo è anche . Ciò dimostra che tutte le trasformazioni di similitudine sono canoniche nel senso definito da Heisenberg.

Alla fine di settembre Heisenberg realizza che le “sue” trasformazioni canoniche sono in realtà un caso particolare (o meglio, “infinitesimo”) di quelle di Born: infatti prendendo queste ultime si scrivono

e sostituendo l’esponenziale matriciale con la sua espansione in serie di potenze si ottiene proprio la legge di trasformazione (e similmente per ).

Con questa nuova arma nel loro arsenale, i nostri tre eroi possono finalmente attaccare il problema generale dell’integrazione delle equazioni del moto. Come abbiamo già accennato, ciò corrisponde al cercare una «trasformazione agli assi principali» per la matrice , ovvero (in termini più moderni) una base in cui l’operatore hamiltoniano sia diagonale. Qui Born è in vantaggio rispetto ai suoi due giovani colleghi grazie alla sua familiarità con la teoria delle forme quadratiche su spazi di dimensione infinita sviluppata qualche anno prima da Hilbert (del quale, come sappiamo, Born era stato assistente) e Hellinger.

Nella prima metà di ottobre Born si mette febbrilmente al lavoro su un manoscritto (che diventerà il terzo capitolo del Dreimännerarbeit) in cui delinea l’applicazione di questa teoria alla nuova meccanica. La fretta è motivata anche dal fatto che entro la fine del mese deve partire per gli Stati Uniti, dove è stato invitato dal MIT per tenere delle lezioni durante il semestre invernale. Queste settimane di intenso lavoro vengono ripagate dalla scoperta del legame fondamentale tra gli autovalori della matrice hamiltoniana e lo spettro delle energie permesse per il corrispondente sistema quantistico. E qui non posso non sottolineare una delle coincidenze più sorprendenti della storia della scienza: infatti l’insieme degli autovalori di una matrice, oggi come allora, è noto proprio con il termine di spettro, che era stato introdotto da Hilbert diversi anni prima… senza minimamente sospettare che ciò avesse nulla a che vedere con gli spettri della fisica atomica!

Born capisce dunque che per stabilire quali sono le energie permesse per un sistema quantistico occorre risolvere un problema agli autovalori. C’è però un problema: la teoria spettrale di Hilbert è valida solo per una certa classe di matrici, ovvero quelle associate a operatori limitati, e sfortunatamente le matrici che si incontrano nella nuova meccanica non sono di questo tipo. Ma Born non fa una piega: con un atto di coraggio, o per meglio dire di incoscienza matematica tipico dei fisici teorici, afferma in una nota a pié di pagina che “nonostante ciò possiamo assumere che essenzialmente gli stessi risultati siano validi” anche per gli operatori non limitati! (Ci vorrà un pezzo da 90 come von Neumann per confermare questa intuizione, alcuni anni dopo, con il teorema spettrale per operatori autoaggiunti; ma questo è materiale per un’altra puntata.)

Heisenberg ritorna a Göttingen tra il 18 e il 20 di ottobre portando con sé la bozza di quelli che diventeranno (parte de) i primi due capitoli del Dreimännerarbeit. Come d’abitudine ne spedisce una copia anche a Pauli, al quale scrive:

Ora come ora sono talmente impegnato con la meccanica quantistica che dubito fortemente che il problema di scrivere questo «articolo a tre» avrà mai una soluzione in un tempo finito. Ad ogni modo mi farebbe molto piacere avere una tua opinione sulla bozza, anche se al momento è pronta solo per un terzo circa, il che è abbastanza terribile.

Appena arrivato Heisenberg si mette subito al lavoro con Jordan per sviluppare la teoria del momento angolare nella nuova meccanica (importante per spiegare ad esempio l’effetto Zeeman); i risultati andranno a costituire il nucleo del quarto (e ultimo) capitolo del Dreimännerarbeit. Pochi giorni dopo (28 ottobre) Born, dopo aver completato la sua parte, può finalmente partire per l’America lasciando la stesura definitiva dell’articolo nelle mani dei suoi due allievi. La revisione finale del lavoro, e soprattutto la stesura dell’introduzione (da sempre la parte più importante di un articolo scientifico), sarà però opera esclusivamente di Heisenberg, che ne approfitta per ribadire le idee fisiche che stanno alla base della nuova teoria (prima tra tutte la sostituzione dei concetti «visuali» classici come posizione e velocità con quantità non visualizzabili ma con un significato operativo diretto), anche per bilanciare quella che avvertiva come un’eccessiva importanza data al formalismo matematico dai suoi due collaboratori. Illuminante al proposito è la seguente citazione tratta dall’ennesima lettera a Pauli:

Ho fatto ogni sforzo per rendere il lavoro più fisico, e alla fine sono abbastanza soddisfatto del risultato. Ma sono ancora piuttosto scontento riguardo la teoria nel suo complesso, e sono felice che tu sia così decisamente dalla mia parte riguardo al rapporto tra fisica e matematica. Qui mi trovo in un ambiente che la pensa esattamente in maniera opposta e non so se sono semplicemente troppo stupido per capire la matematica. Göttingen è divisa in due fazioni: una che parla, come Hilbert, dell’ingresso delle matrici in fisica come di un grande successo; l’altra che sostiene, come Franck, che le matrici non saranno mai capite.

A metà novembre il manoscritto viene finalmente spedito al solito Zeitschrift für Physik (sarà ricevuto il 16) con il titolo Zur Quantenmechanik II, a sottolineare il suo ruolo di continuazione del precedente articolo di Born e Jordan; sarà pubblicato nell’agosto del 1926. Ma nel frattempo, all’insaputa di tutti e tre gli autori del Dreimännerarbeit c’era un’altra persona, in un altro Paese, che stava arrivando ai loro stessi risultati… (continua)

Fisica delle alte energie… ma ancora per quanto?

Mentre sto scrivendo questo messaggio gli ultimi fasci di particelle stanno circolando nell’anello del Tevatron, che fino ad oggi è stato il secondo acceleratore di particelle al mondo per energia nel centro di massa (dopo LHC, ovviamente). Alle due del pomeriggio CDT di oggi i fasci verranno scaricati per l’ultima volta nei blocchi di grafite (qui dovrebbe esserci la diretta dell’evento per i curiosi), e il collisore americano verrà spento per sempre dopo 26 28 anni di onorato servizio. Sul blog del sempre ottimo Tommaso Dorigo potete trovare un elenco dei risultati più importanti che sono stati ottenuti dai due esperimenti associati, CDF e D0, tra i quali spicca la scoperta del sesto (e ultimo?) quark, il top, arrivata nel 1995.

Da domani in poi, tra gli acceleratori in grado di operare ad alte energie (diciamo sopra i 100 GeV), a parte quelli del CERN, rimarrà solo il Relativistic Heavy Ion Collider a Brookhaven (New York). Nessun nuovo acceleratore che lavori ad energie paragonabili a quelle del Tevatron è in costruzione al momento. Da secoli si parla di un nuovo collisore rettilineo tra elettroni e positroni, l‘International Linear Collider, ma nessuno sa ancora se, quando e dove verrà costruito. La situazione finanziaria delle maggiori economie mondiali non sembra promettere bene riguardo al finanziamento di un’opera del genere, e le economie emergenti (come i famosi BRIC — un membro dei quali mi sta attualmente stipendiando) sembrano avere altri problemi più urgenti da risolvere.

Insomma, non siamo ancora alla fine della fisica delle alte energie, ma tutti i segnali indicano che lì ci stiamo avviando. D’altronde l’abbiamo sempre saputo: gli acceleratori non possono crescere all’infinito, prima o poi è inevitabile raggiungere un limite, sia esso di natura economica o tecnologica. Non so cosa verrà dopo LHC (ammesso che venga qualcosa); magari tutti i governi del mondo si metteranno d’accordo per costruire una macchina da 100 TeV, o qualcosa del genere (ma dopo quella?). Di una cosa però sono certo: i fisici delle particelle delle prossime generazioni, quando guarderanno indietro alla seconda metà del Novecento, non potranno non provare una certa invidia.

Aggiornamento (21:36 Central European Summer Time, 16:36 Brazilian Time, 14.36 Central Daylight Time): una vegliarda di nome Helen ha appena premuto due bottoni, uno rosso e uno blu. Il Tevatron è spento per sempre.

Nuovo aggiornamento (qualche ora dopo): non posso esimermi dal segnalare (ahimè, in colpevole ritardo) il liveblogging dell’evento di Jester. Un breve ma significativo estratto:

The shutdown of the Tevatron should be viewed as a part of the bigger program of shutting down fundamental research in the US. It makes sense: since manufacturing could be outsourced to China, no reason why research could not.

Appunti di vita brasiliana

Se pensate che gli automobilisti italiani siano indisciplinati, mi spiace deludervi ma non avete ancora visto niente. Qui si rischia la vita ad ogni attraversamento di una strada un minimo trafficata, e non sto scherzando. L’algoritmo standard per attraversare è il seguente:

1. Raggiungere le strisce (ammesso che ci siano).
2. Guardare molto attentamente in entrambe le direzioni se ci sono dei veicoli nel raggio di 100 metri (o il massimo che la strada consente).
3. Se il risultato è NO, attraversare correndo (a 70 km/h, che qui è la velocità di crociera, ci si mettono circa cinque secondi per coprire 100 m)
4. Se il risultato è SI, aspettare che passino tutti quanti e tornare al punto 2. In alcune rare circostanze può capitare che un’auto rallenti e il guidatore ci faccia cenno di passare; in tal caso si può procedere con l’attraversamento (sempre correndo), a patto di aver controllato che eventuali altre macchine sopraggiungenti non stiano tirando dritto ignorandovi.

Fortunatamente, ogni tanto sulle strade (tipicamente nei punti più pericolosi) sono piazzati dei dissuasori, che peraltro non sono come da noi i classici dossetti di plastica della 3M ma sono proprio dei dossi di asfalto lunghi cinque metri e  alti trenta centimetri. Com’è facile intuire questi sono i vostri migliori alleati, ma purtroppo non sempre si trovano laddove li vorremmo.

Ai tropici il sole picchia in tutt’altra maniera rispetto alle nostre latitudini (insomma, qui mena proprio); se a ciò aggiungiamo che siamo pure in altura (850 m circa),  il risultato è che qui finisci per abbronzarti anche se non vuoi. Nel mio caso ad esempio i venti minuti di passeggiata da casa mia all’università, fatti due volte al giorno, bastano e avanzano per mantenermi costantemente più scuro di quando ero in Italia. Chissà se mi mettessi a prendere il sole… (ma non temete, non accadrà).

E già che siamo in tema, se leggete la pagina di wikipedia dedicata all’amena cittadina in cui vivo scoprirete che essa è soprannominata nientemeno che Cidade do Clima, la «città del clima». In realtà, come ho potuto appurare di persona, questa è solo un’abbreviazione: il vero soprannome è invece (o quantomeno dovrebbe essere) «città del clima del cazzo». Mi spiego: qui ci sono sostanzialmente solo due tipi di tempo possibili (almeno in questo periodo dell’anno, cioè tardo inverno/inizio primavera): sole e caldo boia, oppure nuvole, vento e freschino (diciamo sui 16/18 gradi). Il primo problema è che la transizione tra questi due stati può avvenire nel giro di qualche ora, per cui può capitare di uscire di casa la mattina in maglietta (sudando) e di rientrare il pomeriggio con i brividi. Il secondo problema è che anche nelle giornate di bel tempo (che sono comunque la stragrande maggioranza), mentre a mezzogiorno si viaggia tranquillamente sui 32/33 gradi, la sera la temperatura cala drasticamente. Un classico è uscire di casa alle sette (quando si sta ancora bene in maglietta) per andare a cena fuori da qualche parte ed essere poi colti dal gelo verso le dieci. Dopo un paio di queste esperienze si impara a portarsi sempre dietro una felpa quando si esce di sera, anche se durante il giorno c’era un caldo insopportabile.

Per un europeo l’idea di gated community è qualcosa di decisamente inusuale (in italiano non abbiamo neanche un termine per definirle, il che già la dice lunga…), qui invece sono la norma. Intanto ci sono interi quartieri, specie in periferia, cui si può accedere solo previa identificazione presso la guardia di turno; ma al di là di questo, praticamente ogni condominio (anche il mio) è separato dalla strada da qualche tipo di cancello ed è circondato da un muro con in cima una grata, o dei fili elettrificati, o altre amenità del genere. Ora, posso capire simili misure di sicurezza in città enormi (e con evidenti problemi di criminalità) come São Paulo o Campinas; ma qui sembrano un po’ ridicole, considerato ad esempio che si può girare ovunque, anche di notte, senza il minimo problema. Ma tant’è: quella di circondare tutto con muri e filo spinato dev’essere un’abitudine da queste parti.

Cose che mancano in un tipico appartamento brasiliano:

• L’impianto di riscaldamento, per ovvi motivi; questo però significa che quei pochi giorni dell’anno in cui fa freddo bisogna girare per casa vestiti, e mettere il piumone sul letto.
• L’allacciamento del gas (per i fornelli occorre attrezzarsi con la bombola).
• In generale, i rubinetti dell’acqua calda: niente calderina (vedi punto precedente) e niente boiler. Se vi state chiedendo come si fa a farsi una doccia calda, la risposta sta in un piccolo apparecchio elettrico che si monta direttamente alla fine del tubo e scalda l’acqua che scende.
• La lavatrice (in compenso è immancabile il lavabo).
• Il bidè.

…cosa quest’ultima che segna (ne sono sempre più convinto) la differenza tra un paese civilizzato e uno che non lo è.