Ci sono due notizie, una buona e una cattiva…

30/12/2016

Quella buona è che ho deciso di ricominciare a scrivere su un blog in maniera regolare (diciamo facendo più di un post all’anno), portare a termine la serie sulla storia della meccanica quantistica e magari provare a portare avanti qualcuno degli altri (tanti) progetti che avevo messo in cantiere anni fa.

Quella cattiva è che tutto ciò non avverrà su queste pagine, ma su quelle del mio nuovo (si fa per dire: esiste da un anno…) sito personale, in cui è già stato creato un secondo blog che ha ereditato tutti gli articoli qui presenti. Il lato negativo è che per continuare a seguirmi dovrete cambiare l’indirizzo del feed RSS; quello positivo è che finalmente non dovrete più sorbirvi le pubblicità di WordPress in fondo agli articoli. Mi pare che tutto sommato il gioco valga la candela, no?

Non ho comunque intenzione di cancellare questo blog, almeno per ora; anzitutto perché non mi costa niente, e secondariamente perché ci potrebbero essere dei link che puntano a pagine su questo sito, e mi sembra brutto romperli senza motivo. Se però sei capitato qui seguendo uno di questi link, sappi che queste pagine non saranno più aggiornate. Per chi vuole, l’appuntamento con i miei prossimi articoli sarà quindi solo ed esclusivamente sul mio nuovo blog. Ci si rivede lì!


Il necrologio che non avete letto sui giornali

14/11/2014

Ci ha lasciato ieri, a 86 anni compiuti, Alexander Grothendieck, uno dei matematici più influenti del ventesimo secolo. Di padre russo e madre tedesca, è arrivato da profugo in Francia nel 1939 (a 11 anni) e da allora ha sempre vissuto nel paese d’oltralpe. In una carriera durata (essenzialmente) vent’anni ha dato contributi fondamentali in analisi funzionale, algebra omologica, K-teoria, teoria delle categorie e geometria algebrica (che ha letteralmente rivoluzionato). Se nell’ultimo secolo c’è stato un matematico a cui si possa attribuire il titolo di «universalista», questo è lui. Eppure sono certo che il 99,99% delle persone al mondo (ed è una stima ottimistica) non ne abbia mai sentito parlare.

Per chi volesse approfondire la conoscenza di questo personaggio  — e fidatevi che merita, la sua vita è stata quanto di più lontano ci possa essere dai classici cliché della professione — non posso che consigliare la stupenda biografia che Allyn Jackson gli ha dedicato 10 anni fa nelle Notices of the American Mathematical Society, liberamente disponibile su internet: qui trovate la prima parte e qui la seconda. Da segnalare anche questo articolo, scritto dal suo amico e collaboratore Pierre Cartier.

Addio Alexander, e grazie per tutto quello che ci hai insegnato.


Cambiamenti

03/09/2014

Il tempo passa, le stagioni si avvicendano, le borse di post-doc finiscono, e anche per questo vecchio blog (ormai in ibernazione da tempo immemore) si avvicina l’ora di un cambiamento. Un’evoluzione, possibilmente, che ne faccia qualcosa di più di un semplice posto dove scrivere qualcosa ogni tanto. Con dei progetti che magari, una volta partiti, arrivino prima o poi a conclusione (ehm…). Stando attenti però a non fare il passo più lungo della gamba.

Chissà se sarei davvero in grado di gestire un blog di questo tipo? Di sicuro prossimamente avrò tempo libero in abbondanza, quindi può valere la pena di tentare. Per caso qualcuno di voi conosce un buon servizio di hosting?


Cent’anni fa

24/04/2014

Il 24 Aprile 1914 i fisici James Franck e Gustav Hertz presentarono per la prima volta in pubblico i risultati di un esperimento che li aveva tenuti impegnati per alcuni mesi (e a cui avevamo accennato ormai tanto tempo fa). Nell’esperimento si mostrava come un elettrone, urtando un atomo di mercurio, potesse perdere solo una quantità di energia esattamente pari a 4.9 elettronvolt: è la prima osservazione diretta della quantizzazione dei livelli energetici in un atomo. Per una descrizione più accurata non posso che indirizzarvi al filmato seguente, che non è altro che uno dei famosi film del PSSC realizzati alla fine degli anni ’50 al MIT (e successivamente tradotti in italiano), avente come oggetto proprio questo esperimento:

Da non perdere il cameo (non nel senso del budino…) finale di Franck!


La nascita della meccanica quantistica, parte 8: “La quantizzazione come problema agli autovalori”

20/10/2013

(Indice delle puntate precedenti: parte 0, parte 1, parte 2, parte 3, parte 4, parte 5, parte 6, parte 7)

SchrodingerErwin Rudolf Joseph Alexander Schrödinger nasce il 12 agosto 1887 a Vienna. Suo padre è il proprietario di una piccola fabbrica di linoleum, ma è anche un uomo di grande cultura in molti campi tra cui la chimica e la botanica, mentre la madre è la figlia di un professore inglese di chimica della Technische Hochschule (politecnico) di Vienna. Con queste premesse, non c’è da meravigliarsi del fatto che il giovane Erwin riceva fin dal principio un’educazione con tutti i crismi, venendo seguito da un tutore privato fino ai 10 anni per poi entrare (1898) nell’Akademisches Gymnasium, la scuola secondaria più prestigiosa di Vienna, che gli garantirà un solido curriculum di studi sia umanistici che scientifici. Qui si mette già in luce per le sue capacità, come racconterà in seguito un compagno di classe:

Specialmente in fisica e in matematica, Schrödinger aveva un dono per la comprensione che gli permetteva, senza fare alcun compito, di cogliere ed essere in grado di applicare subito tutto il materiale svolto in classe. Dopo la lezione […] il nostro professore poteva chiamare immediatamente Schrödinger alla lavagna e porgli dei problemi, che lui risolveva con giocosa facilità.

Nonostante questa grande abilità nelle materie scientifiche, Schrödinger manterrà comunque per tutta la vita un vivo interesse per la letteratura e lo studio delle lingue, tanto che in aggiunta alle due lingue “di casa” (tedesco e inglese) diventerà fluente anche in francese e spagnolo, oltre a conoscere il greco antico e il latino.

Dopo essersi diplomato nell’estate del 1906, Schrödinger entra all’università di Vienna con l’idea di proseguire gli studi in fisica e matematica. Tra i suoi professori quelli che esercitano su di lui l’influenza più grande sono Franz Exner, forse in quel momento il fisico più importante dell’impero austro-ungarico (tanto che nel 1908 assumerà il ruolo di cancelliere dell’università di Vienna), e soprattutto Friedrich Hasenöhrl, già allievo del grande Ludwig Boltzmann (quest’ultimo si era suicidato il 5 settembre del 1906, poco prima dell’ingresso all’università di Schrödinger, che quindi non avrà modo di conoscerlo). Hasenhörl, che è appena stato nominato (a soli 32 anni) successore del suo maestro alla cattedra di fisica teorica dell’università di Vienna, si è già costruito una fama di eccellente insegnante e sarà proprio da lui che Schrödinger impererà la meccanica analitica, la fisica dei mezzi continui e soprattutto i metodi risolutivi per quei problemi agli autovalori che, più di 15 anni dopo, saranno alla base dei lavori che rivoluzioneranno la nuova meccanica.

Ma non percorriamo i tempi: nel 1910, conclusi puntualmente gli studi, il ventiduenne Schrödinger si trova alle prese con la tesi di dottorato. Sebbene mostri già uno spiccato interesse per le questioni teoriche, decide di lavorare a un problema di carattere sperimentale suggeritogli dalle ricerche in corso nel laboratorio di Exner sui fenomeni di elettricità atmosferica. Così, il 20 maggio 1910, Schrödinger ottiene il titolo di dottore in fisica grazie a una tesi riguardante «la conduzione di elettricità sulla superficie di un isolante in aria umida», scritta sotto la supervisione di Egon Schweidler.

Dopo un anno di servizio militare come artigliere, Schrödinger ritorna a far parte dell’università nell’ottobre del 1911 ottenendo una posizione da “sostituto assistente” all’istituto di Exner, dove ha modo di collaborare con l’esperto fisico sperimentale Fritz Kohlrausch. In questa prima fase della sua carriera scientifica Schrödinger, oltre a continuare nello studio dell’elettricità atmosferica, ha modo di approfondire la sua conoscenza della fisica della materia occupandosi ad esempio delle proprietà dei materiali dielettrici (sui quali scriverà anche un articolo di review) e, dal 1912 in avanti, del fenomeno della diffrazione dei raggi X, appena scoperto a Monaco da Max von Laue. Su questi argomenti troverà un valido collaboratore nel suo quasi-coetaneo Hans Thirring, anche lui ai suoi primi passi nel mondo della ricerca.

Un altro momento importante arriva nel settembre del 1913, quando si tiene a Vienna la riunione della Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Ärzte (“società degli scienziati e fisiatri tedeschi”), la più antica e prestigiosa organizzazione scientifica del Reich, il cui scopo è quello di incentivare lo scambio culturale tra scienziati di diverse discipline. Uno dei protagonisti della riunione è Einstein, che parla del suo tentativo (in quel momento non ancora portato a compimento) di costruire una nuova teoria della gravità. La sua conferenza genera grande interesse da parte di tutti i fisici austriaci, ed è in questa occasione che Schrödinger acquista un interesse per la teoria della relatività che non lo abbandonerà per il resto della sua vita.

Il 9 gennaio 1914 Schrödinger ottiene l’abilitazione ad insegnare nell’università e il semestre successivo tiene subito un corso sui “fenomeni di interferenza di raggi X”. È interessante notare come ancora a questo stadio i suoi interessi siano divisi in parti pressoché uguali tra il lato teorico e quello sperimentale. Poco dopo la fine del semestre scoppia la prima guerra mondiale e Schrodinger viene immediatamente richiamato in servizio (agosto 1914) con il ruolo di ufficiale di artiglieria. Assegnato al fronte italiano, vi rimarrà a tempi alterni fino al 1917 e avrà anche modo di guadagnarsi una menzione d’onore al comando di una batteria di artiglieri durante una delle tante battaglie dell’Isonzo.

Durante la primavera del 1917 Schrödinger viene allontanato dal fronte e spedito ad insegnare un corso di metereologia alla scuola ufficiali di Wiener Neustadt, e ne approfitta per riprendere a pieno regime il lavoro di ricerca (che comunque non aveva mai abbandonato del tutto, continuando a spedire brevi note anche dal fronte su problemi di relatività generale e acustica). È proprio in questo periodo di relativa calma che Schrödinger inizia ad acquisire familiarità con la teoria dei quanti leggendo articoli di Planck, Einstein e altri. Il suo primo lavoro in merito però è, almeno in parte, sperimentale: nell’estate del 1919 formula infatti un’ipotesi secondo cui l’emissione dei quanti di luce nei processi atomici avviene in maniera “orientata”, cioè lungo una direzione ben definita, e procede in prima persona alla verifica di tale ipotesi nel suo laboratorio di Vienna. Gli esperimenti danno però esito negativo: gli effetti di interferenza tra quanti di luce provenienti dalla stessa sorgente permangono anche a grande distanza angolare. Si tratta in realtà dell’ultimo esperimento significativo nella carriera di Schrödinger, i cui interessi da qui in avanti prenderanno definitivamente la strada della teoria.

Questo non è l’unico cambiamento che l’austriaco si trova ad affrontare in quei mesi: a 33 anni suonati decide infatti di sposarsi con la sua fidanzata dell’epoca, Annemarie Bertel (detta Anny), una nativa di Salisburgo trasferitasi a Vienna per lavorare come segretaria. Non volendo procedere al grande passo senza avere uno stipendio fisso, Schrödinger inizia a sondare il terreno per un posto da assistente; la risposta dell’università però è scoraggiante, anche per via delle pessime acque in cui versa l’Austria a seguito della disfatta totale con cui si era conclusa la guerra. Nei primi mesi del 1920 Schrödinger decide allora di abbandonare l’istituto di fisica di Vienna per accettare una posizione come assistente di Max Wien offertagli dall’università di Jena, nella neonata repubblica di Weimar; il che gli consentirà tra l’altro di sposare Anny, il 24 marzo 1920.

Comincia così un periodo che non è esagerato definire da “girovago della fisica”: nel corso dei due anni successivi Schrödinger non passerà mai più di un semestre nella stessa città! Al termine del semestre estivo del 1920, sebbene a Jena fosse già pronta per lui una promozione, decide di trasferirsi alla Technische Hochschule di Stoccarda come professore straordinario. Anche la capitale della Svevia, però, riesce a trattenerlo solo per un semestre: nella primavera del 1921 accetta infatti un posto da professore ordinario offertogli a Breslau.

Ma evidentemente era destino che Schrödinger trovasse casa al di fuori dei confini tedeschi: all’inizio del semestre successivo arriva infatti un’offerta dall’università di Zurigo, che viene prontamente accettata. Il 15 ottobre 1921 Schrödinger viene così nominato professore di fisica teorica nella tranquilla città svizzera dove finalmente trova un ambiente a lui congeniale, oltre all’amicizia di colleghi del calibro di Hermann Weyl e Peter Debye. Nel corso dei quattro anni successivi Schrödinger scriverà ben 18 articoli di ricerca (più due di review) sugli argomenti più disparati: relatività, fisica atomica, teoria quantistica dei calori specifici, meccanica statistica dei gas, e persino la teoria dei colori e della loro percezione. Quest’ultimo campo di indagine, che si situa a cavallo tra fisica e neurobiologia, veniva usato da Schrodinger come un “rifugio” nel quale ritirarsi quando qualche altro problema lo teneva bloccato per troppo tempo.

In questa fase la produzione accademica di Schrödinger ha come caratteristica quella di apportare piccoli ma significativi miglioramenti a risultati già ottenuti da altri. Lui stesso descriverà così il suo stile:

Raramente il mio intervento costituisce la prima risposta a un problema; piuttosto è spesso la seconda, ed è stimolata dal desiderio di contraddire o correggere, sebbene in seguito lo sviluppo sistematico della mia risposta si riveli essere molto più importante della contraddizione originaria, che serve solo a far partire la nuova teoria.

In un certo senso questo stesso meccanismo è alla base degli articoli fondativi della meccanica ondulatoria, che nascono come risposta alle audaci idee di de Broglie che noi ben conosciamo.

SchrodingerCome molti suoi colleghi, Schrödinger viene per la prima volta a conoscenza dei lavori del francese leggendo, nell’estate del 1925, la seconda parte della memoria Quantentheorie des einatomigen idealen Gases (“Teoria quantistica del gas ideale monoatomico”) in cui Einstein, sviluppando un lavoro del fisico indiano Satyendra Bose, introduce quella che oggi è giustamente nota come statistica di Bose-Einstein. Incuriosito da una nota a pié di pagina in cui il buon Albert, en passant, nota che nella tesi di dottorato di de Broglie si trova «una notevole interpretazione geometrica della regola di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld», Schrödinger cerca subito di procurarsi una copia della dissertazione, che però arriverà nelle sue mani solo alla fine di ottobre. Il 16 novembre scrive all’amico Alfred Landé:

Negli ultimi giorni mi sono occupato in dettaglio dell’ingegnosa tesi di Louis de Broglie. È straordinariamente stimolante; tuttavia, alcuni punti sono ancora molto difficili da capire. Ho tentato invano di visualizzare l’onda di fase di un elettrone in un’orbita Kepleriana…

Dopo aver assorbito le idee di de Broglie, Schrödinger compie un passo in avanti decisivo. Ammesso che, come sostiene il francese, ad ogni particella si possa associare un’onda, la domanda da farsi diventa: qual è l’equazione differenziale che governa l’evoluzione di queste onde? Purtroppo non sappiamo, e probabilmente non sapremo mai, quale sia stata l’intuizione che ha portato Schrödinger a porre il problema in questi termini. Se diamo retta ai racconti (di molto posteriori) dei suoi colleghi Debye e Bloch, l’idea potrebbe essere venuta da una domanda (forse dello stesso Debye) che Schrödinger aveva ricevuto al termine di un seminario in cui aveva illustrato la teoria di de Broglie ai suoi colleghi di Zurigo.

Comunque siano andate le cose, alla fine di novembre Schrödinger si mette in caccia di una “equazione d’onda” che determini l’ampiezza delle onde di fase di un elettrone in un atomo di idrogeno. Inizialmente, come già aveva fatto de Broglie, Schrödinger imposta i suoi conti nel quadro della relatività speciale, che si sapeva ormai essere la teoria corretta per trattare i fenomeni elettromagnetici, e arriva così a un’uguaglianza del tipo

\nabla^{2}\psi + \frac{4\pi^{2}}{h^{2}}\left( \left( h\nu + \frac{e^{2}}{r}\right)^{2} - m^{2}c^{4}\right) \psi = 0

che può essere vista come una equazione agli autovalori per la funzione d’onda \psi. (In termini moderni, si tratta della versione stazionaria di quella che poco più tardi prenderà il nome di equazione di Klein-Gordon.) C’è però una brutta sorpresa in arrivo: l’espressione dei livelli energetici per l’atomo di idrogeno che si ottiene risolvendo questa equazione non coincide con la formula (anch’essa relativistica) che Sommerfeld aveva ottenuto 10 anni prima, e che si sapeva essere in ottimo accordo con i dati sperimentali! Deluso da questo primo fallimento, Schrödinger molla lì tutto per qualche settimana e passa la prima metà di dicembre a completare due articoli su altri argomenti. Con la fine del semestre si presenta però l’occasione propizia per riprendere in mano il problema.

Per le vacanze di Natale del 1925 Schrödinger si reca ad Arosa, località montana nel cantone dei Grigioni dove andava regolarmente in vacanza fin dal 1922. Spiace indugiare nel gossip, ma ci tocca segnalare che non è da solo: lo accompagna una gentile signora che non è la moglie Anny ma una sua “amica” di Vienna, la cui identità è a tutt’oggi sconosciuta. La cosa non deve stupire più di tanto: gli Schrödinger erano una coppia decisamente aperta, tant’è vero che in quello stesso periodo Anny aveva una relazione stabile con il già citato Hermann Weyl (senza, peraltro, che ciò pregiudicasse in alcun modo il rapporto di amicizia tra i due colleghi). Lo stesso Weyl, molti anni più tardi, approfitterà di queste curiose circostanze per prendere in giro l’amico, dichiarando che Schrödinger ha scritto il suo capolavoro durante «a late erotic outburst in his life».

Scappatella o meno, è proprio durante le due settimane di vacanza ad Arosa che Schrödinger trova la strada giusta per risolvere il problema dell’equazione d’onda. Lasciando da parte (seppur a malincuore) la relatività, Schrödinger replica il ragionamento che aveva già compiuto un mese prima usando però le espressioni classiche per energia e momento dell’elettrone. L’equazione che ne risulta è

\nabla^{2}\psi + \frac{4\pi^{2}}{h^{2}} 2m \left( h\nu + \frac{e^{2}}{r} - mc^{2}\right) \psi = 0

Con grande sorpresa dell’austriaco, questa volta il calcolo dei livelli energetici dà lo stesso risultato della formula (non relativistica) di Bohr! Sappiamo che Schrödinger era già in possesso di questa cruciale conferma a Natale, poiché Il 27 dicembre scrive in una lettera a Wilhelm Wien (editor della rivista Annalen der Physik, da non confondersi con quel Max Wien con cui aveva lavorato a Jena):

Al momento sono tormentato [sic] da una nuova teoria atomica […] Credo di poter scrivere un sistema vibrante — costruito in una maniera completamente naturale e senza assunzioni ad hoc — che ha come sue frequenze proprie i termini spettrali dell’atomo di idrogeno. […] Spero di riuscire presto a scrivere qualcosa di un po’ più dettagliato e illuminante su questo argomento. Al momento devo ancora capire la matematica necessaria per gestire pienamente il problema vibrazionale — si tratta di una equazione differenziale lineare simile a quella di Bessel, ma meno nota e che esibisce strane condizioni al contorno; queste sono connesse con l’equazione stessa e non imposte dal di fuori.

Schrödinger passa il resto delle sue vacanze (per la gioia, immaginiamo, della sua compagna…) riempiendo di idee un quaderno di 72 pagine che intitola Eigenwertproblem des Atoms I (“Problema agli autovalori dell’atomo”).

Di ritorno a Zurigo, Schrödinger riesce a superare (con l’aiuto dell’esperto Weyl) le difficoltà matematiche che aveva menzionato nella lettera a Wien ed è così in grado di dedurre con i suoi metodi l’intera struttura dei livelli energetici di un elettrone nell’atomo di idrogeno, sia nella sua componente discreta (livelli di Bohr) che in quella continua (che corrispondono agli stati non legati). Tutto è pronto per annunciare la scoperta della nuova teoria, il che avverrà (come promesso a Wien) con un lavoro sugli Annalen.

L’articolo, che viene ricevuto il 27 gennaio 1926 e uscirà a stampa a metà marzo, porta il titolo programmatico di Quantisierung als Eigenwertproblem («La quantizzazione come problema agli autovalori»), seguito dal minaccioso inciso Erste Mitteilung («Prima comunicazione») che lascia presagire una lunga serie di sequel. Questa prima nota si apre con una deduzione euristica dell’equazione d’onda a partire da un principio variazionale (che verrà successivamente scartata dallo stesso Schrödinger in favore di altri approcci), immediatemente seguita dall’esempio fondamentale dell’atomo di idrogeno svolto in ogni dettaglio. L’ideologia che anima il lavoro emerge chiaramente sin dal primo paragrafo:

In questa comunicazione posso anzitutto mostrare nel caso più semplice dell’atomo di idrogeno (non relativistico e imperturbato) che la consueta prescrizione di quantizzazione si può sostituire con un altro postulato nel quale non si parla più di “numeri interi”. Il carattere discreto compare invece nello stesso modo naturale in cui il numero dei nodi di una corda musicale oscillante è un intero. La nuova interpretazione può essere generalizzata e giunge, credo, assai in profondo nella vera essenza delle prescrizioni quantistiche.

È impossibile non notare l’avversione di Schrödinger per l’idea stessa di quantizzazione “alla Planck”, ottenuta postulando esplicitamente che determinate grandezze fisiche possano assumere solo valori discreti pari a multipli interi di un quanto elementare.

La maggiore difficoltà concettuale che la nuova teoria si trova a dover affrontare è, ovviamente, quello di chiarire il significato della funzione d’onda. Nella sua prima comunicazione Schrödinger rimane piuttosto abbottonato:

È evidentemente assai naturale associare la funzione \psi a un processo di oscillazione nell’atomo, che gli si adatta in maggior misura della oggi assai dubitata realtà delle traiettorie elettroniche. Avevo originariamente l’intenzione di fondare la nuova forma della prescrizione quantistica in questo modo più intuitivo, ma ho presentato poi la forma matematica neutrale di cui sopra perché essa fa risaltare l’essenziale in modo più chiaro.

Nella seconda comunicazione, spedita agli Annalen meno di un mese più tardi (23 febbraio) e pubblicata il 6 aprile, Schrödinger è più deciso. Anzitutto riprende, come già aveva fatto de Broglie prima di lui, la cosiddetta analogia ottico-meccanica di Hamilton, secondo cui le leggi della meccanica di un punto materiale (principio di Maupertuis) sono formalmente analoghe a quelle dell’ottica geometrica (principio di Fermat) facendo corrispondere alla velocità di fase dell’onda la quantità meccanica E/\sqrt{2m(E-U)}. Tuttavia, nota Schrödinger, questa analogia è strettamente legata al fatto di lavorare nell’approssimazione dell’ottica geometrica, poiché

[…] concetti anche importanti della teoria delle onde come ampiezza, lunghezza d’onda, frequenza — o parlando più in generale la forma d’onda — non compaiono nell’analogia, manca per essi un corrispettivo meccanico; neppure della funzione d’onda stessa si può parlare…

Poco più avanti esplicita l’ipotesi alla base del suo lavoro:

Oggi sapiamo che la nostra meccanica classica fallisce per dimensioni dei camini assai piccole e per curvature dei cammini assai forti. Forse questo fallimento è completamente analogo al fallimento dell’ottica geometrica, cioè dell’ottica per lunghezze d’onda infinitamente piccole, che avviene notoriamente quando gli “schermi” o le “aperture” non sono più grandi rispetto alla lunghezza d’onda reale, finita. Forse la nostra meccanica classica è completamente analoga all’ottica geometrica e come tale è falsa, non è in accordo con la realtà, fallisce quando i raggi di curvatura e le dimensioni del cammino non sono più grandi rispetto ad una certa lunghezza d’onda, che nello spazio delle q assume significato reale. Allora vale la pena di cercare una “meccanica ondulatoria” — e la via più naturale per questo è certo lo sviluppo nel senso della teoria delle onde dell’idea di Hamilton.

La mecanica ondulatoria, nata appena un mese prima con il lavoro sull’atomo di idrogeno, viene qui ufficialmente battezzata.

Schrödinger prosegue assumendo che la dipendenza della funzione d’onda dal tempo sia di tipo sinusoidale, ovvero che sia possibile una fattorizzazione del tipo

\psi(q,t) = \psi(q) \exp (2\pi i (E/h) t)

Sostituendo la funzione così ottenuta nell’ordinaria equazione delle onde e usando per la velocità di fase l’espressione v = E/\sqrt{2m(E-U)} suggerita dall’analogia ottico-meccanica, ottiene

\nabla^{2}\psi + \frac{8\pi^{2}m}{h^{2}} (E-U)\psi = 0

che riconosciamo subito come la versione stazionaria della “sua” equazione. La velocità di gruppo dell’onda risulta essere pari a \sqrt{2/m (E-U)}, ovvero quella che classicamente è la velocità del punto materiale, il che permette di recuperare la meccanica classica come limite di quella ondulatoria:

Questa circostanza si può ora utilizzare per stabilire un legame assai più profondo di prima tra propagazione dell’onda e moto del punto immagine. Si può provare a costruire un gruppo d’onde che in tutte le direzioni abbia dimensioni relativamente piccole. Un tale gruppo d’onde seguirà allora prevedibilmente le stesse leggi del moto del singolo punto immagine del sistema meccanico. Esso potrà fornire per così dire un surrogato (Ersatz) del punto immagine, purché si possa trascurare la sua estensione rispetto alle dimensioni del cammino del sistema.

Schrödinger conclude presentando altre applicazioni della nuova meccanica a sistemi semplici: l’oscillatore armonico (per cui ottiene la medesima espressione dei livelli energetici trovata da Heisenberg sei mesi prima), il rotore rigido e la molecola diatomica.

L’impatto delle scoperte che abbiamo appena descritto sulla comunità internazionale dei fisici in quei primi mesi del 1926 sarà devastante: le due comunicazioni del trentottenne fisico austriaco verranno lette, studiate e analizzate in ogni dettaglio praticamente da chiunque, e le reazioni non tarderanno ad arrivare… ma questo sarà materiale per la prossima puntata. (continua)


Finalmente!

16/10/2013

Con il consueto ritardo, la redazione (?) di Untitled #0 registra con grande piacere l’assegnazione del premio Nobel per la fisica agli esimi François Englert (80 anni) e Peter Higgs (84). Il bosone di Higgs(-Brout-Englert-Guralnik-Hagen-Kibble e chi più ne ha più ne metta…) era considerato fino all’anno scorso l’ultimo mattone della complessa costruzione teorica nota come modello standard ad essere ancora privo di riscontri diretti; con la conferma definitiva della sua osservazione, arrivata (come ricorderete) il 4 Luglio dell’anno scorso, si può dunque dire che il modello standard è ora confermato in ogni sua parte dagli esperimenti. Proprio per questo motivo può essere interessante andare a scavare un po’ nella storia dei Nobel per vedere quante volte il prestigioso premio è stato assegnato a un lavoro che ha contribuito alla costruzione di questa teoria.

Lasciando da parte i premi dedicati alle scoperte sperimentali (che meriterebbero un discorso a sé stante), il primo Nobel che ha qualcosa a che vedere con la moderna teoria delle particelle elementari è probabilmente quello del 1949, assegnato al giapponese Hideki Yukawa per un celeberrimo lavoro (risalente al 1935) in cui prediceva l’esistenza di una particella mediatrice dell’interazione nucleare forte che, con un po’ di hindsight, è stata poi identificata col pione. Tanto per essere chiari, siamo ancora lontanissimi dalle idee alla base del modello standard, che sono molto più recenti; e tuttavia il nome di Yukawa è ancora oggi familiare ad ogni fisico teorico che si rispetti, per via del tipo di interazione da lui introdotta.

Nel decennio successivo, e precisamente nel 1957, viene premiato un altro contributo teorico fondamentale che viene dall’Oriente: questa volta sono i cinesi Tsung-Dao Lee e Chen-Ning Yang (che però lavorano negli USA) ad aggiudicarsi il Nobel, grazie a un lavoro uscito l’anno precedente (!) su Physical Review in cui fanno notare che quella che era stata considerata da tutti fino a quel momento una legge di natura, la conservazione della parità, poteva in realtà essere violata da alcuni processi governati dall’interazione nucleare debole, tra cui il decadimento beta. I due suggeriscono anche alcuni esperimenti per verificare se tali violazioni avvengano o meno, e convincono la loro connazionale (e collega di Lee alla Columbia University) Chien-Shiung Wu ad effettuare il test. I risultati, pubblicati all’inizio del 1957, sono sorprendenti ma inequivocabili: il decadimento beta non conserva la parità, e il premio Nobel per i due teorici (ma non per la povera madame Wu!) arriva pochi mesi dopo.

Un altro salto in avanti nel tempo e arriviamo al Nobel del 1965, che celebra quello che è a tutti gli effetti il primo pezzo del modello standard: l’elettrodinamica quantistica, o QED per gli amici. I tre premiati sono gli americani Richard Feynman e Julian Schwinger e il giapponese Shinichiro Tomonaga, che non sono in realtà gli inventori della teoria quanto piuttosto quelli che l’hanno fatta funzionare, ponendo tra l’altro le basi della tecnica della rinormalizzazione. Sul finire degli anni ’60, e per la precisione nel 1969, arriva poi il premio a Murray Gell-Mann, naturalmente per il suo modello a quark, introdotto nel 1964. Anche qui, sebbene la teoria che usiamo oggi per descrivere gli adroni (la cromodinamica quantistica, o QCD) sia ben più sofisticata del modello di Gell-Mann, il ruolo storico giocato da quest’ultimo è innegabile: basti pensare all’origine stessa del termine “quark”!

Dieci anni più tardi, nel 1979, arriva la consacrazione di un altro pezzo fondamentale del modello standard: la teoria elettrodebole, con il premio nobel assegnato a Abdus Salam, Sheldon Glashow e Steven Weinberg. Per inciso, l’articolo in cui quest’ultimo pone a tutti gli effetti le basi del modello standard, intitolato con modestia «A model of leptons» (ma che ben presto sarebbe diventato the model of leptons!), è meritatamente uno degli articoli più citati nella storia della fisica: mentre scrivo questo post Inspire segnala 8614 citazioni (and counting, come si suol dire).

Tre anni più tardi, nel 1982, non possiamo non segnalare il premio Nobel al recentemente scomparso Ken Wilson, che oserei definire il primo uomo che abbia davvero capito cosa sia la rinormalizzazione, nonché un pioniere dello studio delle teorie di campo su reticolo (e molto altro).

Dopo Wilson i premi Nobel relativi alla struttura teorica del modello standard si prendono una lunga pausa: dobbiamo infatti attendere il 1999 perché l’altra grande teoria fondante della fisica delle particelle contemporanea, la già menzionata QCD, venga finalmente celebrata con il Nobel agli olandesi Gerard ‘t Hooft e Martinus Veltman. Ancora una volta ad essere premiati non sono gli ideatori della teoria (che peraltro sono parecchi, a iniziare da Chen-Ning Yang (ancora lui!) e Robert L. Mills) ma coloro che la rendono predittiva dimostrandone la rinormalizzabilità in due lavori del 1971 (detto per inciso, ‘t Hooft era allora un giovanotto di 25 anni che stava facendo il dottorato, e Veltman il suo relatore…).

La QCD, ormai definitivamente sdoganata, torna alla ribalta cinque anni dopo con il premio Nobel 2004 assegnato agli americani David Gross, Frank Wilczek e H. David Politzer, per aver scoperto nel 1973 (i primi due assieme, il terzo indipendentemente) un’importante proprietà della teoria nota come libertà asintotica. Nel frattempo il modello standard esce trionfante dai test sempre più stringenti a cui viene sottoposto (al CERN, al Fermilab e altrove), e così nel 2008 arrivano altri tre premi, ai giapponesi Makoto Kobayashi, Toshihide Maskawa (che si dovrebbe traslitterare Masukawa, ma tant’è…) e Yoichiro Nambu, i primi due per un lavoro del 1972 in cui, sulla base di requisiti di consistenza, ipotizzano l’esistenza di una terza generazione di quark, e il terzo per i suoi contributi (risalenti ai primi anni ’60!) alla teoria della rottura spontanea di simmetria, in una specie di antipasto al premio di quest’anno.

Al termine di questa carrelata è impossibile non notare con una certa preoccupazione in quale maniera si sia dilatato, negli ultimi decenni, il tempo che intercorre tra la pubblicazione di un lavoro “degno del Nobel” e l’effettiva attribuzione del premio. Per evidenziare ancora di più la cosa mi sono divertito a fare un veloce grafico:

Grafico ritardo premi Nobel

In ascissa c’è l’anno di attribuzione del Nobel (con lo zero che corrisponde al 1955) e in ordinata il numero di anni trascorsi tra la pubblicazione del lavoro cui si fa riferimento nelle motivazioni del premio e l’attribuzione del premio stesso. (Per il Nobel del 2008 ho preso in considerazione l’articolo di Kobayashi-Maskawa; il puntino di Nambu starebbe molto più in alto, molto vicino a quello di quest’anno…)

Il grafico precedente illustra bene il passaggio dal Nobel “istantaneo” a Lee e Yang nel ’57 al Nobel, diciamo così, “maturo” della settimana scorsa (sono passati 49 anni dagli articoli di Higgs e Brout-Englert!). Stando così le cose non sorprende affatto che il coautore di Englert, il povero Robert Brout (classe ’28, e dunque solo di un anno più anziano di Higgs), non ce l’abbia fatta ad arrivare al giorno del trionfo.

Ovviamente questa dilatazione dei tempi (che per una volta non ha nulla a che vedere con la teoria della relatività!) ha dei motivi, alcuni palesi (era oggettivamente difficile premiare Higgs senza una conferma definitiva del meccanismo da lui ideato, e d’altro canto l’osservazione del bosone di Higgs ha richiesto uno sforzo immenso da parte di migliaia di persone) e altri un po’ meno (ad esempio correva voce che il premio Nobel a Gross fosse stato ritardato di molti anni da una sorta di “veto” da parte di una personalità di grande influenza… provvidenzialmente deceduta poco prima del 2004). È anche vero che l’accademia svedese delle scienze è storicamente piuttosto diffidente verso i teorici: sia Planck che Einstein dovettero aspettare circa 16 anni per vedere riconosciuto il valore delle loro scoperte (e Einstein fu premiato per la spiegazione dell’effetto fotoelettrico, non certo la prima cosa per cui lo ricordiamo oggi…), Pauli 21 anni e Max Born addirittura 28 (ma in questi due casi si è messa di mezzo anche la seconda guerra mondiale).

Sia come sia, con le prospettive che si fanno sempre più nere per la fisica delle alte energie (dopo l’LHC il nulla?), è forse proprio in questi anni che stiamo assistendo agli ultimi premi Nobel che verranno attribuiti in questo campo.


I primi passi di una rivoluzione silenziosa

18/08/2013

Esattamente 22 anni fa entrava in funzione un servizio destinato a rivoluzionare il mondo della ricerca. Sto parlando dell’arXiv, un archivio di articoli scientifici (pubblicati o in versione preliminare) caratterizzato dal fatto di essere ad accesso totalmente libero per chiunque. Per avere un’idea delle sue dimensioni attuali non c’è modo migliore di dare un’occhiata all’incredibile mappa interattiva che è stata prodotta dal progetto paperscape:

Mappa dell'arXiv

La galassia degli articoli su arXiv

Ma come è nato questo deposito di articoli (o e-prints) che, soprattutto in alcuni campi della fisica e della matematica, è ormai diventato un punto di riferimento imprescindibile? La storia ce la racconta nientemeno che il suo ideatore, il fisico teorico americano Paul Ginsparg, in questo articolo (reperibile indovinate un po’ dove?) di due anni fa.

Tutto comincia nella primavera del 1991, quando Ginsparg si trasferisce da Harvard ai laboratori di Los Alamos, nel New Mexico, celebri per essere stati il luogo dove Fermi, Oppenheimer e gli altri membri del progetto Manhattan costruirono nel 1945 le prime bombe nucleari. Arrivato nel suo nuovo ufficio, Ginsparg scopre con piacere di avere a disposizione, per la prima volta in carriera, un computer tutto per lui (una NeXTstation a 25 MHz con hard disk da 105 Mb e 16 Mb di RAM) e ne approfitta per mettere in pratica un’idea che gli girava in testa da un po’ di tempo.

Dobbiamo anzitutto precisare che all’epoca Internet non c’era ancora, o meglio stava nascendo proprio in quegli anni. La principale infrastruttura di rete, il cosiddetto backbone, era fornita dalla NSFNet, una rete creata nel 1985 per iniziativa della National Science Foundation che aveva raccolto il testimone dalla precedente ARPANET. Nel 1991 la NSFNet collegava tra loro 13 nodi sparsi per gli Stati Uniti alla straordinaria (per i tempi) velocità di 1.5 Mbit/s:

Rete NSFNet nel 1991

Le più piccole reti regionali potevano poi mettersi in comunicazione tra di loro collegandosi al nodo NSFNet più vicino.

Questo primo abbozzo di rete globale fu fondamentale per facilitare i contatti tra gli accademici statunitensi e l’uso delle e-mail, prima limitato alle reti locali nelle singole università, divenne presto un’abitudine anche per le comunicazioni a lunga distanza. Tra l’altro, se diamo retta a Ginsparg, pare che sia stato proprio lui il primo ad avere l’idea di inserire tra i dati presenti nella testata dei propri articoli anche l’indirizzo e-mail, per la prima volta in questo lavoro del dicembre 1987:

Prima pagina del lavoro di Dixon, Ginsparg e Harvey

…anche se relegato nelle note a pié di pagina

Un’altra cruciale innovazione di quegli anni fu la diffusione capillare del programma di typesetting TeX, la cui versione “definitiva” era uscita due anni prima (1989). Molti ricercatori, soprattutto tra i più giovani, si erano convertiti rapidamente all’uso del nuovo sistema, soprattutto per via della notevole semplificazione che garantiva nella composizione delle formule matematiche.

Con la diffusione dei documenti elettronici i tempi erano maturi per pensare a una infrastruttura che facilitasse la diffusione rapida e su larga scala dei nuovi articoli non ancora arrivati alla pubblicazione su rivista (tipicamente perché in attesa di peer review), i cosiddetti preprint. I primi tentativi in tal senso furono compiuti affidandosi a delle mailing list gestite manualmente, ma iscriversi a una mailing list di questo tipo significava correre costantemente il rischio di vedere la propria casella e-mail intasata dagli articoli in arrivo. Fu così che Ginsparg ebbe l’idea di creare un sistema completamente automatizzato che fosse in grado di ricevere ed archiviare i preprint, divulgare periodicamente una lista contenente i titoli e gli abstract dei preprint ricevuti, e infine distribuire gli articoli veri e propri su richiesta.

Nasce così la prima incarnazione del’arXiv, un rudimentale server e-mail (e, qualche mese dopo, anche FTP) gestito da un insieme di script csh, reperibile allo storico indirizzo xxx.lanl.gov (il curioso nome “xxx”, che ovviamente non ha nulla a che fare con la pornografia, deriva dalla sigla che Ginsparg era solito inserire nei suoi sorgenti TeX dove c’era qualcosa da correggere.) Il successo fu immediato: Ginsparg si aspettava un centinaio di preprint all’anno, ne arrivarono 400 nei primi sei mesi. L’onore della prima submission, ricevuta il 14 Agosto 1991, spettò al noto stringhista Gary Horowicz assieme a J. H. Horne, mentre in quarta posizione (16 Agosto) troviamo nientemeno che Ed Witten, peraltro non con uno dei suoi lavori più famosi, e appena fuori dalla top ten (21 Agosto) c’è il primo contributo di un altro grosso calibro, Ashoke Sen.

Curiosamente, l’idea iniziale era di cancellare i preprint archiviati dopo tre mesi dalla loro ricezione, quando in teoria essi sarebbero stati resi obsoleti dalla pubblicazione su rivista dell’articolo corrispondente; ma Andrew Strominger fece giustamente notare a Ginsparg che poter ottenere istantaneamente la copia di un articolo via e-mail è molto più comodo rispetto al perdere delle ore a cercare la relativa stampa nel proprio ufficio, e così nulla venne mai cancellato.

Ben presto cominciarono a spuntare “cloni” dell’archivio originale (ufficialmente denominato hep-th, che sta per high energy physics – theory) relativi ad altre aree della fisica e della matematica: così il 5 Febbraio 1992 nasce l’archivio alg-geom (geometria algebrica) all’indirizzo eprints.math.duke.edu (oggi non più in uso), mentre l’8 Marzo arriva, a grande richiesta, l’archivio hep-ph (fenomenologia). Un poco più tardi, il 7 Aprile, nasce hep-lat (teorie su reticolo) e tre giorni più tardi arrivano astro-ph (astrofisica), cond-mat (fisica dello stato solido) e funct-an (analisi funzionale), questi ultimi ospitati in Italia, su un server della SISSA (oggi, purtroppo, anch’esso defunto).

Nell’autunno del 1992 Ginsparg viene a conoscenza di una nuova e interessante tecnologia da poco sviluppata al CERN, e decide di dare una mano alla libreria dello SLAC per mettere online un server web (il primo su suolo americano!) che consentisse, tra le altre cose, di accedere a un’altra storica risorsa che ogni fisico conosce ed ama, il database SPIRES (recentemente ribattezzato inspire). Un sito web per il “physics e-print archive”, com’era chiamato all’epoca, arriverà solo nell’Aprile del 1993.

Molti anni più tardi, e precisamente il 28 Dicembre del 1998, il sito acquisterà finalmente il nome arXiv, trasferendosi nel contempo al suo attuale indirizzo. L’idea che sta dietro a tale criptica sigla è che la X maiuscola va pensata come la lettera greca χ, da cui la pronuncia simile a quella della parola inglese «archive». Per la cronaca, il nome più ovvio di “archive” dovette essere scartato perché nel frattempo all’indirizzo archive.org si era già stabilmente insediato l’Internet Archive: ecco un caso in cui persino l’essere nati prima ancora del web non è stato sufficiente ad assicurarsi il nome di dominio che si desidera!

«The arXiv could well end up as string theorists’ greatest contribution to science.» (David Mermin)


Tanto per far uscire il blog dalla colonnina dei “dead feeds”…

22/07/2013

…e per mantenere la tradizione che vuole una uscita dal letargo in occasione di eventi musicali di una certa rilevanza (almeno secondo la mia personalissima prospettiva), segnalo che è uscito oggi il nuovo disco dei crash of rhinos. Se non avevate mai sentito parlare di questo gruppo prima di qualche secondo fa (eventualità molto probabile), qui li potete sentire suonare dal vivo il loro intero primo album (mi raccomando, arrivate almeno fino a Lifewood che è il quarto pezzo):

Se vi siete convinti, qui si scarica il disco nuovo (sono sei sterline, per la miseria… d’accordo che c’è la crisi, ma non dite che non ce le avete!)

Aggiornamento (23/7): però. Pubblico il primo post dopo quattro mesi di latitanza e il giorno dopo i server del mio lettore RSS esplodono. Solo una coincidenza? Noi di Untitled #0 pensiamo di no…


La nascita della meccanica quantistica, parte 7: le onde di fase

17/03/2013

(Indice delle puntate precedenti: parte 0, parte 1, parte 2, parte 3, parte 4, parte 5, parte 6)

Louis de BroglieLouis Victor Pierre Raymond de Broglie nasce a Dieppe, una cittadina portuale dell’alta Normandia, il 15 agosto 1892. Suo padre è Victor, quinto duca di Broglie, discendente di una antica famiglia nobiliare (originaria di Chieri, in Piemonte) che aveva già dato alla storia della Francia varie figure tra cui marescialli, politici e diplomatici. Il primo a rompere la tradizione e dedicarsi alla scienza è però il fratello maggiore di Louis, di nome Maurice. Di 17 anni più vecchio, Maurice avrà un’influenza determinante sul fratellino, specialmente a partire dal 1906, quando papà Victor muore e Maurice eredita il titolo di duca e la posizione di capofamiglia.

Lo stesso Maurice sembrava in realtà destinato a una carriera nella marina militare francese fino al 1904, anno in cui decide di abbandonare quel tipo di vita (con grande disappunto della famiglia) per abbracciare gli studi di fisica. Diventa così un allievo di Paul Langevin al Collège de France, dove ottiene il dottorato nel 1908 grazie a una tesi in cui studia il moto di corpuscoli carichi di varie dimensioni, dagli ioni atomici alle particelle che compongono il fumo di tabacco (!). Conclusi gli studi formali, e non avendo evidentemente problemi di carattere economico, il de Broglie maggiore pensa bene di continuare la sua carriera di fisico sperimentale attrezzando a laboratorio la sua casa di Parigi sita tra rue Lord Byron e rue Châteaubriand, a due passi dall’Étoile.

Nel frattempo anche Louis si è trasferito a Parigi dove frequenta il prestigioso Lycée Janson de Sailly, diplomandosi nel 1909. Le sue idee sono però molto diverse da quelle del fratello, almeno per il momento: infatti dopo il diploma entra sì alla Sorbona, ma nella facoltà di Lettere, dove studia storia medioevale con l’idea di perseguire, dopo la laurea, una tranquilla carriera nella diplomazia. Nel giro di qualche anno, però, questo piano verrà totalmente sconvolto; e tutto per colpa (strano a dirsi) di un tedesco.

All’inizio del 1911, infatti, il chimico-fisico Walther Nernst, a Göttingen, ha un’idea meravigliosa: organizzare un convegno internazionale di fisica centrato sui problemi della nascente teoria dei quanti. Ottenuto il via libera dal «boss» della fisica tedesca Max Planck, Nernst ha la fortuna di entrare in contatto con il chimico e industriale belga Ernest Solvay, allora 73enne (e ricco sfondato), che si offre come sponsor dell’evento. Così, il 30 ottobre 1911 si apre a Bruxelles il Conseil Solvay, con tema La Théorie du Rayonnement et les Quanta. Sotto l’inappuntabile regia dell’olandese Hendrik Lorentz, i 23 fisici più importanti dell’epoca (tra cui un giovane Einstein) si riuniscono per discutere gli ultimi sviluppi nella loro scienza.

1911_Solvay_conference

Il congresso è un successo strepitoso, e si decide quindi di trasformare l’esperienza in un appuntamento periodico: nascono così quelle conferenze Solvay che avranno (come vedremo) un ruolo fondamentale nella definitiva affermazione della meccanica quantistica. Curatore dei proceedings di questo primo episodio è proprio Maurice de Broglie che, una volta tornato a Parigi, finisce con il coinvolgere anche il fratello minore nel lavoro editoriale. È proprio qui che arriva la svolta: Louis legge infatti con grande interesse i resconti delle relazioni tenute dagli scienziati, restando particolarmente affascinato da quei misteriosi «quanti» che Planck aveva introdotto appena dieci anni prima. Matura così la decisione di gettare alle ortiche la carriera diplomatica e seguire le orme del fratello maggiore.

Dopo altri due anni di studio alla Sorbona Louis ottiene nel 1913 la Licence ès Sciences (una sorta di laurea di primo livello) in fisica e matematica. Subito dopo viene chiamato nell’esercito francese dove, anche grazie a una raccomandazione del fratello, viene assegnato al corpo degli ingegneri. Si tratta di un vero colpo di fortuna, perché meno di un anno dopo scoppia la prima guerra mondiale e Louis riesce così ad evitare le terribili trincee del fronte occidentale, nelle quali i francesi perderanno circa 4 milioni di uomini. Diventa invece uno dei telegrafisti che operano alla stazione radio sulla torre Eiffel, dove rimane in servizio fino all’agosto del 1919.

Terminata l’esperienza nell’esercito Louis è finalmente libero di riprendere gli studi per conseguire il dottorato in fisica, anch’egli sotto la guida di Langevin, che del resto è uno dei pochi fisici francesi a tenersi aggiornato sugli sviluppi teorici più recenti. Seguendo i suoi corsi al Collège de France, de Broglie acquisisce in breve tempo solide basi in relatività e teoria dei quanti. Continua comunque a bazzicare regolarmente la casa-laboratorio del fratello Maurice, che nel frattempo è diventato uno dei massimi esperti nello studio dei raggi X, uno degli argomenti caldi dell’epoca. E qui occorre fare una piccola digressione.

Com’è noto, i raggi X vengono scoperti quasi per caso dal tedesco Wilhelm Röntgen alla fine del 1895 e catalizzano immediatamente l’attenzione dei fisici di tutto il mondo; tant’è vero che, appena sei anni dopo la scoperta, a Röntgen viene assegnato niente meno che il primissimo premio Nobel per la fisica della storia (1901). Tale interesse è dovuto al fatto che nessuno ha la più pallida idea di cosa diavolo siano questi raggi, come del resto testimonia persino il nome con cui Röntgen li aveva battezzati. In particolare ci si chiede se essi siano prodotti da una “vibrazione dell’etere” (come si diceva all’epoca), in maniera analoga alla luce, o se viceversa abbiano natura corpuscolare. Alcune loro proprietà, come la capacità di ionizzare i gas, sembravano suggerire la seconda possibilità. Nel 1912, però, l’osservazione di fenomeni di diffrazione a opera di un team guidato da Max von Laue, a Monaco, sembrò far pendere la bilancia nettamente a favore dell’ipotesi ondulatoria.

Ciò nonostante ancora all’inizio degli anni ’20 alcuni, tra cui l’influente fisico inglese W. H. Bragg (premio Nobel 1915 assieme a suo figlio), continuavano a ritenere che il comportamento dei raggi X presentasse anche aspetti corpuscolari. Tra questi scettici c’è anche Maurice de Broglie, ed è proprio durante le lunghe discussioni con suo fratello che in Louis comincia a farsi strada l’idea che per descrivere i fenomeni atomici sia necessario combinare concetti ondulatori e corpuscolari.

In questa linea di pensiero de Broglie trova un alleato formidabile nel già citato Albert Einstein, che nel 1905 aveva avanzato la coraggiosa ipotesi secondo la quale l’energia di un’onda elettromagnetica era da considerarsi come localizzata in «quanti di luce» (Lichtquanten) indipendenti, il che permetteva ad esempio di spiegare le peculiari proprietà esibite dall’effetto fotoelettrico. In due articoli successivi (1909, 1916) Einstein era poi ritornato sul tema dimostrando, tra le altre cose, come la legge di Planck sullo spettro del corpo nero implichi la necessità di attribuire a un quanto di luce di lunghezza d’onda \lambda un impulso pari a h/\lambda, il che rende di fatto questi Lichtquanten in tutto e per tutto analoghi a delle particelle. De Broglie studia con attenzione questi lavori e le sue prime due pubblicazioni teoriche, che appaiono durante il 1922, vertono proprio su questo argomento.

Nel frattempo accade un curioso incidente che vale la pena di raccontare. Nell’autunno del 1921 si svolge, sempre a Bruxelles, la terza conferenza Solvay (la prima dopo la fine della guerra) con tema Atomes et électrons. De Broglie vi vorrebbe assistere, nonostante sia ancora un semplice studente di dottorato: c’era infatti l’usanza di autorizzare l’accesso di pochi selezionati estranei ai lavori del congresso. Nonostante la presenza del fratello tra gli invitati, però, il permesso non viene accordato. Molto deluso, Louis giurerà a se stesso che nel futuro sarebbe riuscito a partecipare a una conferenza Solvay, non in qualità di estraneo ma invitato per via delle sue scoperte! (Non crediamo di rovinare la sorpresa a nessuno se anticipiamo che ciò accadrà davvero, nella conferenza del 1927.)

Intanto l’idea dei quanti di luce prende sempre più piede, dapprima (dicembre 1921) grazie all’attribuzione del premio Nobel ad Einstein per i servizi resi alla fisica teorica e specialmente per la sua scoperta della legge dell’effetto fotoelettrico, e quindi (maggio 1923) per via della comparsa su Physical Review di un articolo firmato da Arthur Compton, un fisico sperimentale americano (non molto conosciuto nel vecchio continente) che opera alla Washington University di Saint Louis, in cui

Si suggerisce l’ipotesi che quando un quanto associato a un raggio X è soggetto a diffusione, esso spenda interamente la sua energia e il suo impulso su un particolare elettrone. Questo elettrone a sua volta diffonde il raggio in una direzione definita.

È la scoperta di quello che ancora oggi si chiama l’effetto Compton. Le conclusioni sono chiare:

Questa notevole concordanza tra esperimento e teoria indica chiaramente che la diffusione è un fenomeno quantistico […] e che un quanto di radiazione porta con sé impulso oltre che energia.

I quanti di luce entrano così definitivamente a far parte della fisica moderna (il termine “fotone” dovrà aspettare ancora qualche anno la fantasia del chimico americano Gilbert N. Lewis), e non è un caso che Maurice de Broglie a Parigi sia uno dei primi fisici in assoluto a replicare l’esperienza di Compton.

Questi sviluppi fanno avvertire in maniera ancora più acuta la mancanza di una teoria in grado di conciliare le due anime, ondulatoria e corpuscolare, della luce. Nell’estate del 1923 Louis de Broglie decide di attaccare il problema partendo da due ipotesi rivoluzionarie: la prima è che i quanti di luce siano dotati di una massa piccolissima ma non nulla (dell’ordine dei 10^{-50} grammi), la seconda è che a ogni corpo dotato di massa (e non solo, quindi, ai quanti di luce) sia possibile attribuire un aspetto ondulatorio. Di queste due idee la prima sarà destinata, come suol dirsi, al cestino della storia, ma la seconda si rivelerà un ingrediente fondamentale della nuova meccanica.

De Broglie parte supponendo che a un corpuscolo di massa m in moto con velocità v = \beta c sia associato un qualche “fenomeno periodico” che, nel riferimento di quiete del corpo, ha frequenza \nu_{0} = mc^{2}/h (dove mc^{2} è l’energia di riposo). Un osservatore stazionario attribuirà però alla particella un’energia pari a mc^{2}\gamma (dove \gamma è il fattore di Lorentz), e quindi al fenomeno in questione una frequenza

\nu = \nu_{0}\gamma

D’altro canto la formula relativistica per l’effetto Doppler trasverso ci dice che l’osservatore stazionario dovrebbe invece misurare una frequenza pari a

\nu' = \nu_{0}/\gamma

Per risolvere questa discrepanza de Broglie introduce «une onde fictive associée au mouvement du mobile», con velocità c/\beta (e dunque maggiore di c, da cui la natura “fittizia” dell’onda) e frequenza \nu come definita in precedenza. È quindi in grado di dimostrare che se a un certo istante il fenomeno periodico associato alla particella è in fase con l’onda, questo accordo persisterà a tutti i tempi: l’onda “accompagna” l’evoluzione della particella.

Le cose iniziano a farsi interessanti quando si considera il moto di un’elettrone intorno a un nucleo, che si suppone periodico di periodo T. In tal caso è naturale richiedere che l’elettrone, dopo aver fatto un giro completo, si trovi nuovamente in fase con l’onda ad esso associata, il che implica che la quantità

\frac{m\gamma v^{2}}{h} T

sia un numero intero. Ma questa non è altro che la condizione di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld (nella sua versione relativistica), perché nella situazione descritta l’integrale dell’azione lungo un periodo è proprio

J = m\gamma v^{2} T

che quindi risulta automaticamente essere pari a un multiplo intero della costante di Planck! È facile immaginare l’eccitazione che deve aver provato de Broglie di fronte alla scoperta di questa semplicissima derivazione delle celebri regole di quantizzazione, tant’è vero che essa viene immediatamente presentata in una nota pubblicata nei Comptes rendus de l’Académie des Sciences (sessione del 10 settembre 1923).

In due note successive, pubblicate rispettivamente il 24 settembre e l’8 ottobre, de Broglie approfondisce le conseguenze della sua teoria dimostrando che la velocità v della particella coincide con la velocità di gruppo dell’onda fittizia, che inizia a chiamare onda di fase. Il moto della particella è determinato imponendo che essa segua, in ogni punto della sua traiettoria, il raggio determinato dalla sua onda di fase (ovvero la direzione perpendicolare alla superficie di uguale fase dell’onda). Ne segue che il percorso della particella può essere calcolato per mezzo del principio variazionale di Fermat:

\delta \int \frac{ds}{\lambda} = 0

dove \lambda è la lunghezza d’onda dell’onda di fase. Ricordando che quest’ultima è il rapporto tra la velocità (c/\beta) e la frequenza (mc^{2}\gamma/h), l’equazione precedente si scrive, in termini di quantità corpuscolari,

\delta \int \frac{m\gamma v}{h} ds = 0

che (eliminata la costante h) è la versione relativistica del principio di Maupertuis. De Broglie può così concludere trionfante:

Il legame fondamentale che unisce i due grandi principi dell’ottica geometrica e della dinamica è messo così in piena luce.

L’emergere di fenomeni tipicamente ondulatori come interferenza e diffrazione è una conseguenza inevitabile degli analoghi fenomeni che sussistono per le onde di fase:

Se la particella attraversa una fenditura le cui dimensioni siano piccole rispetto alla lunghezza d’onda dell’onda di fase, la sua traiettoria sarà in generale curva, come il raggio di un’onda diffratta.

Ne segue la straordinaria predizione per cui ogni tipo di particella, ad esempio un elettrone, può essere diffratta sotto opportune condizioni; «ed è in questa direzione che occorre guardare per una conferma sperimentale delle nostre idee».

Nei mesi successivi de Broglie mette ordine nei risultati ottenuti e scrive una prima esposizione sistematica della sua teoria, che diventerà la sua tesi di dottorato. Intitolata semplicemente Reserche sur la théorie des quanta, la tesi è pronta per l’estate del 1924 ma verrà discussa alla facoltà di Scienze della Sorbona solo il 25 novembre. Il comitato esaminatore comprende, oltre al presidente Jean Perrin, l’insigne matematico Élie Cartan (che oggi ricordiamo come uno dei fondatori della moderna geometria differenziale), il cristallografo Charles Mauguin e ovviamente il supervisore di de Broglie, Langevin. I quattro si trovano in grande imbarazzo: la tesi è formalmente corretta e molto ben scritta, ma queste “onde di fase” sembrano non avere la minima attinenza con la realtà. Dopo una lunga discussione, alla fine il candidato viene promosso e la sua tesi lodata

pour avoir poursuivi avec une maitrise rémarquable un effort qui devait etre tenté pour vaincre les difficultés aux milieux desquelles étaient les physiciens.

ovvero, «per aver perseguito con notevole maestria uno sforzo che doveva essere tentato per superare le difficoltà nelle quali si trovano i fisici». Com’è facile immaginare, Perrin e Mauguin sono i più perplessi dalla totale assenza di riscontri sperimentali. A onor del vero, de Broglie aveva chiesto a un collaboratore di suo fratello esperto di elettronica, tale Alexandre Dauvillier, di provare ad effettuare un esperimento di diffrazione su fasci di elettroni; sfortunatamente Dauvillier in quel periodo è totalmente assorbito dagli esperimenti su una nuova tecnologia che proprio allora stava muovendo i suoi primi passi… la televisione!

(In realtà, l’esperimento che avrebbe fatto così comodo a de Broglie era già stato effettuato: fenomeni di diffrazione elettronica vennero infatti prodotti, ma non riconosciuti, negli anni 1921-1923 da C. J. Davisson e C. H. Kunsman nei laboratori della Western Electric Company di New York. Nel luglio del 1925 il tedesco Walter Elsasser darà una intepretazione corretta di questi esperimenti (dopo aver letto i lavori di de Broglie), ma la conferma definitiva dell’aspetto ondulatorio degli elettroni arriverà solo nel 1927 grazie agli esperimenti di Davisson-Germer e di G. P. Thomson. È curioso notare come quest’ultimo sia proprio il figlio di quel J. J. Thomson che nel 1897 aveva scoperto gli elettroni in quanto particelle).

La tesi di de Broglie viene prodotta in tre copie dattiloscritte, una delle quali rimane a Langevin che la manda all’amico Einstein per un parere. Einstein riceve la tesi nel dicembre del 1924 e ne resta subito impressionato: in una lettera a Langevin dirà che de Broglie «ha sollevato un angolo del grande velo». Einstein però non si limita alle lodi private, ma cita anche favorevolmente il lavoro del francese in un importante articolo sulla teoria quantistica dei gas ideali, che uscirà a stampa nel febbraio del 1925. E sarà proprio la lettura di quell’articolo che ispirerà un non più giovanissimo fisico austriaco ad approfondire lo studio di quella strana idea delle “onde di fase”… (continua)


La nascita della meccanica quantistica, parte 6: “Sullo spettro dell’idrogeno dal punto di vista della nuova meccanica quantistica”

29/12/2012

(Indice delle puntate precedenti: parte 0, parte 1, parte 2, parte 3, parte 4, parte 5)

Wolfgang Ernst Friedrich Pauli nasce a Vienna il 25 Aprile 1900. Suo padre è un noto medico viennese che un anno prima della sua nascita, seguendo un suggerimento del suo ex professore Ernst Mach, decide di abbandonare la professione per dedicarsi completamente alla ricerca in chimica fisica (diventerà poi professore all’Università). Forse per sdebitarsi, visto l’ottimo consiglio ricevuto, dà a suo figlio il secondo nome Ernst e addirittura chiama Mach a fare da padrino per il suo battesimo, il che se non altro pone sin da subito sotto buoni auspici le sorti scientifiche del nuovo nato.

Le promesse vengono mantenute già a cominciare dal ginnasio, in cui durante le ore di lezione più noiose il giovane Wolfgang inganna il tempo leggendo sottobanco non delle riviste porno (come tutti gli adolescenti che si rispettino), ma… gli articoli di Einstein sulla relatività generale. L’argomento lo interessa così tanto che comincia a prendere lezioni private da tale Hans Bauer, professore all’università di Vienna e autore (assieme a un certo Erwin Schrödinger, di cui — come potete ben immaginare — riparleremo) di alcuni lavori sulla nuova teoria. Queste lezioni evidentemente danno i loro frutti se già nel settembre del 1918, appena tre mesi dopo aver ottenuto il diploma, Pauli è in grado di spedire a una rivista il suo primo articolo scientifico, che riguarda il calcolo del tensore energia-impulso del campo gravitazionale.

Dopo aver evitato l’arruolamento nell’esercito del morente impero austro-ungarico grazie a una presunta “debolezza di cuore” (Herzschwäche), Pauli decide di abbandonare Vienna e proseguire i suoi studi di fisica in Germania, all’università di Monaco. Non passa molto tempo prima che il suo talento venga riconosciuto da Sommerfeld che nel 1920, dopo aver dovuto incassare il rifiuto di Einstein, chiede proprio al nuovo arrivato di scrivere un articolo di review sulla relatività per un importante progetto editoriale dell’epoca chiamato Enciclopedia delle Scienze Matematiche, di cui è il coordinatore. Il prestigio di questo incarico si può misurare dal fatto che esso pone il ventenne Pauli sullo stesso piano di nomi quali Boltzmann, Lorentz, Debye, Born e lo stesso Sommerfeld, tutti autori di altri articoli per il medesimo progetto. Il lavoro, che alla fine ammonta a 237 pagine, è sostanzialmente completo per il dicembre di quell’anno ed esce a stampa nel settembre del 1921; successivamente pubblicato in monografico, su di esso si formeranno generazioni e generazioni di relativisti fino agli anni ’70 e oltre.

Alla fine del 1920, come sappiamo, anche Heisenberg si iscrive all’università di Monaco. I due legano immediatamente, nonostante sotto molti punti di vista siano uno l’opposto dell’altro: ad esempio mentre Heisenberg ama la montagna, lo sci e le escursioni, Pauli disdegna ogni tipo di attività fisica e non si allontana mai dalla città. Il suo passatempo preferito consiste nel trascorrere le serate nei caffé di Schwabing, celebre quartiere notturno di Monaco, per la gioia di Sommerfeld che la mattina non vede mai arrivare il suo studente prima di mezzogiorno.

È sempre in questo periodo che Pauli inizia a sviluppare quel terribile e irriverente senso critico per cui diventerà famoso (o famigerato) nella comunità internazionale dei fisici. Nel suo secondo articolo (che risale al giugno del 1919), dovendo segnalare un errore di segno in alcune formule di un lavoro di Hermann Weyl, Pauli scrive cautamente:

Vorrei esprimere, con il dovuto rispetto, l’opinione che un piccolo errore sia presente nell’articolo di Weyl.

Sfortunatamente, questa frase rimarrà l’unica critica gentile della sua carriera: già nella sua review sulla relatività Pauli non si fa alcun problema a sottolineare in maniera spietata alcune incongruenze fisiche nelle teorie di mostri sacri quali lo stesso Weyl e Gustav Mie. Questi e altri episodi gli varranno più avanti il nomignolo di “frusta di Dio” (die Geissel Gottes) affibbiatogli da Ehrenfest (e accettato con grande orgoglio). La sola persona che in qualche misura si salverà dai suoi commenti abrasivi sarà Sommerfeld, verso il quale manterrà per tutta la vita quel rispetto tipico del rapporto allievo-maestro. L’unica eccezione ce la racconta Heisenberg: un giorno, durante una lezione a cui Sommerfeld si è presentato vestito in maniera particolarmente pomposa, Pauli si gira verso l’amico e osserva: «non ti sembra che somigli a un vecchio colonnello ussaro?».

Nella seconda parte del suo periodo di studi a Monaco gli interessi di Pauli si spostano decisamente sulla fisica atomica, che in quel momento è ricca di problemi aperti (contrariamente alla relatività). È quindi del tutto naturale che la sua tesi di dottorato, discussa il 25 luglio del 1921, verta proprio sulla teoria dei quanti, e precisamente sul problema di descrivere lo ione della molecola di idrogeno. Il lavoro è tecnicamente impressionante, ma i risultati sono una delusione: l’energia di ionizzazione calcolata tramite il modello di Bohr-Sommerfeld non coincide con il valore misurato, a dimostrazione del fatto che la “corretta” meccanica quantistica è ancora lontana.

Ottenuto il titolo di dottore, Pauli va a Göttingen per un semestre come assistente di Max Born, che entusiasta scrive in una lettera all’amico Einstein: «non avrò mai più un assistente così bravo». Questo giudizio si rivelerà un po’ troppo affrettato: come Born ricorderà in seguito, «gli piaceva dormire fino a tardi, e più di una volta gli capitò di perdere la lezione delle undici. A un certo punto abbiamo iniziato a mandare la nostra cameriera da lui alle dieci e mezza per accertarsi che fosse sveglio. Senza dubbio era un genio di prim’ordine, ma la mia preoccupazione era ingiustificata. Il suo successore Heisenberg era altrettanto intelligente, e molto più coscenzioso: non abbiamo mai dovuto mandare nessuno a svegliarlo».

Nell’aprile del 1922 Pauli, non gradendo l’atmosfera troppo matematica che si respira a Göttingen, si trasferisce ad Amburgo presso l’istituto di fisica diretto da Wilhelm Lenz; appena due mesi dopo, però, è nuovamente a Göttingen per il Bohr Festspiele (di cui abbiamo già parlato nella seconda puntata). Come Heisenberg, anche Pauli resta affascinato dalla figura di Niels Bohr, tanto che in seguito descriverà questo incontro come “l’inizio di una nuova fase della mia vita scientifica”. Bohr, dal canto suo, pensa bene di invitarlo per un anno a Copenhagen come curatore dell’edizione in tedesco dei suoi lavori. A questa straordinaria proposta Pauli risponde, con notevole faccia tosta:

Mi riesce difficile pensare che avrò qualche difficoltà sul piano scientifico, ma l’imparare una lingua straniera come il danese va di gran lunga oltre alle mie abilità.

al che Bohr non può fare a meno di scoppiare a ridere. Pochi mesi più tardi, nell’ottobre del 1922, Pauli arriva effettivamente alla corte di Bohr dove, oltre a portare avanti il già menzionato incarico editoriale, ha modo di avviare una fruttuosa collaborazione con Hendrik Kramers e si dedica altresì a ricerche personali su un altro dei grandi problemi aperti dell’epoca, l’effetto Zeeman anomalo, ottenendo però solo dei risultati parziali e certamente poco soddisfacenti per un fisico della sua ambizione. La frustrazione che tale problema causa al povero Pauli è testimoniata da un celebre aneddoto: un giorno un suo collega all’istituto di Bohr lo incontra mentre va a spasso per le vie di Copenhagen con il muso lungo. «Sembri molto triste», osserva questi ignaro. E Pauli, scocciato: «Come si può avere un’espressione felice mentre si pensa all’effetto Zeeman anomalo?».

Tra parentesi, è forse il caso di spiegare brevemente cosa diavolo sia questo effetto Zeeman anomalo. Come ricordato nella prima puntata, ogni elemento chimico ha una sua “carta d’identità” data dalle sue righe spettrali, e uno dei problemi principali che doveva affrontare la nuova meccanica era proprio quello di spiegare la struttura di tali spettri. Nel 1896 Pieter Zeeman, un fisico olandese operante a Leiden, ha l’idea di provare a vedere cosa succede a queste righe spettrali quando la sostanza che le emette viene immersa in un campo magnetico statico. Ebbene, ciò che accade è che alcune righe spettrali si dividono: ad esempio per l’idrogeno, la riga che corrisponde alla trasizione da n=3 a n=2 diventa un tripletto (la figura che segue è spudoratamente copiata da qui):

Siccome l’entità dello scostamento dipende dal valore del campo magnetico, questo effetto viene usato oggi ad esempio per misurare i campi magnetici delle macchie solari:

Per questa scoperta Zeeman vincerà il premio Nobel nel 1902 assieme a Lorentz, che fornisce una spiegazione teorica del fenomeno nell’ambito della meccanica classica.

Ma qual è la ragione dell’aggettivo “anomalo”? Il problema è che per certi elementi le righe spettrali si dividono in una maniera più complicata rispetto al semplice tripletto previsto dal modello di Lorentz (o dalla sua versione quantistica, sviluppata da Debye e Sommerfeld nel 1916). Ad esempio nel sodio abbiamo divisioni in 4 o addirittura in 6 righe distinte:

Oggi sappiamo che il numero di righe dipende dallo spin degli elettroni di valenza degli atomi coinvolti, ma all’epoca lo spin era sconosciuto e queste differenze di comportamento tra i vari elementi costituivano un vero rompicapo che tenne occupati molti tra i grossi calibri del periodo, tra cui ricordiamo anche Heisenberg e Alfred Landé.

(Per inciso, anche la scoperta dello spin dell’elettrone meriterebbe di essere raccontata, tanto più che lo stesso Pauli ha avuto in essa una parte tutt’altro che trascurabile; ma dato che questa puntata sta già diventando fin troppo lunga, mi sembra più opportuno lasciarla da parte per il futuro.)

Torniamo dunque a Pauli che nell’ottobre del 1923, esaurito il suo incarico a Copenhagen, ritorna ad Amburgo dove, su pressione dei colleghi Lenz e Otto Stern (appena trasferitosi da Francoforte, dove assieme a Walter Gerlach aveva ideato e condotto il celebre esperimento omonimo), viene rapidamente nominato Privatdozent senza neanche bisogno di una tesi di abilitazione (oggi diremmo per “chiara fama”). Ed è proprio ad Amburgo che, poco più di un anno più tardi, arriva la scoperta che proietta definitivamente Pauli nell’olimpo dei fisici teorici: il principio di esclusione.

Pauli passa buona parte del 1924 a cercare di spiegare la struttura elettronica degli atomi, prendendo come punto di partenza il cosiddetto «principio di costruzione» (Aufbauprinzip), discusso tra l’altro da Bohr durante le sue lezioni a Göttingen di due anni prima, secondo cui la struttura elettronica di ciascun elemento della tavola periodica può essere “costruita” a partire da quella dell’idrogeno aggiungendo un elettrone alla volta. La svolta arriva quando Pauli, leggendo la prefazione alla quarta edizione fresca di stampa dell’Atombau und Spektrallinien di Sommerfeld, trova il riferimento a un importante lavoro sulla struttura degli atomi (pubblicato il 1° ottobre 1924) a opera di Edmund Stoner, fisico sperimentale inglese di stanza al Cavendish Laboratory. In breve tempo, Pauli è in grado di ricondurre le regole empiriche dedotte da Stoner sulla base dei suoi esperimenti di spettroscopia a raggi X a un singolo principio: in un atomo non possono mai esistere due o più elettroni con gli stessi numeri quantici. Non solo: tale ipotesi permette anche di spiegare la lunghezza dei vari periodi della tavola periodica (la famosa sequenza 2, 8, 18, 32 che fino ad allora era stata vista come un puro dato empirico), alcune regolarità nella struttura degli spettri, e molto altro.

Questi importanti risultati vengono pubblicati nel marzo del 1925 in un articolo che diventa immediatamente un classico, tanto che per la fine dell’anno il «principio di esclusione di Pauli» sarà già entrato stabilmente a far parte delle leggi della fisica atomica (e frutterà a Pauli il premio Nobel, seppur a vent’anni di distanza). Pauli stesso, comunque, non resta pienamente soddisfatto del suo lavoro, soprattutto per non essere riuscito a giustificare il nuovo principio a partire da assunzioni teoriche di carattere più generale (cosa che avverrà successivamente tramite il legame con le proprietà di simmetria della funzione d’onda). In una lettera indirizzata a Bohr e Heisenberg scriverà al riguardo, nel suo classico stile sarcastico:

In questo lavoro non ci sono sciocchezze (Unsinn) peggiori delle attuali opinioni riguardo la struttura degli spettri. Piuttosto, le mie sciocchezze sono coniugate rispetto a quelle abituali fino ad oggi.

Archiviato il lavoro sul principio di esclusione, Pauli mette in cantiere un nuovo, monumentale progetto: viene infatti incaricato da Geiger (sì, quello del contatore) e Scheel, curatori dell’Handbuch der Physik, di scrivere (ancora!) un articolo di review, stavolta sulla teoria dei quanti. Il momento non poteva essere scelto peggio (anche se ovviamente all’epoca né Pauli né chiunque altro poteva prevederlo), visto che nei mesi successivi la teoria di Bohr-Sommerfeld sarebbe stata completamente spazzata via dalla “nuova” meccanica quantistica; tant’è vero che quando la review in questione (un altro tomo di 278 pagine) vedrà effettivamente la luce, nel luglio del 1926, sarà già irreparabilmente obsoleta, e Pauli si riferirà ad essa ironicamente come il suo «vecchio testamento».

L’articolo per l’Handbuch tiene impegnato Pauli fino alla metà di ottobre; nel frattempo, in quel di Göttingen, la meccanica delle matrici è in piena costruzione e Pauli è costantemente aggiornato sui suoi sviluppi grazie alle lettere di Heisenberg. Il 9 ottobre scrive a Kronig:

La meccanica di Heisenberg mi ha ridato gioia di vivere (Lebensfreude) e speranza. Non dà la soluzione del mistero, ma adesso credo di nuovo che sia possibile fare dei progressi.

Poche righe dopo, però, fa capire chiaramente come non sia molto felice della direzione che la nuova teoria sta prendendo sotto l’influsso di Born e Jordan:

Prima di tutto bisognerebbe provare a liberare la meccanica di Heisenberg dal diluvio di erudizione formale di Göttingen, e metterne a nudo l’essenza fisica in maniera migliore.

Tale insoddisfazione viene probabilmente espressa allo stesso Heisenberg, che in una lettera di pochi giorni dopo (12 ottobre) gli risponde piccato:

Il tuo eterno vituperare Copenhagen e Göttingen è un vero scandalo. In ogni caso, devi concederci che non stiamo cercando di rovinare la fisica di proposito. Quando ci rimproveri dicendo che siamo talmente asini che non abbiamo mai prodotto niente di nuovo dal punto di vista fisico, puoi anche avere ragione. Ma allora anche tu sei ugualmente asino, visto che neanche tu ci sei riuscito.

Pauli accetta la sfida implicita nelle parole dell’amico e, nel giro di tre settimane, riesce laddove Born e Heisenberg avevano fino a quel momento fallito, ovvero nel ricavare la corretta espressione dei livelli energetici dell’atomo di idrogeno usando la nuova meccanica. Per farlo usa quello che potremmo definire un “asso nella manica”: il vettore di Laplace-Runge-Lenz, una particolare costante del moto tipica del problema dei due corpi interagenti tramite un potenziale di tipo coulombiano. (Apparentemente questo vettore, pur essendo per ovvi motivi ben noto ad Amburgo — no, quel Lenz a capo del dipartimento non è un omonimo — non lo era altrettanto nella pur “erudita” Göttingen.)

Ovviamente la prima persona ad essere informata del successo è Heisenberg, che il 3 novembre risponde soddisfatto:

Non c’è bisogno che io ti dica quanto sono felice per la tua nuova teoria dell’idrogeno, e quanto ammiri il fatto che tu l’abbia messa a punto così velocemente…

Ma Pauli non si ferma qui: è anche in grado di calcolare la perturbazione ai livelli energetici indotta dalla simultanea presenza di (deboli) campi elettrici e magnetici, problema questo che dava origine a gravi difficoltà nell’ambito della vecchia teoria dei quanti. L’articolo che contiene questi risultati, intitolato “Sullo spettro dell’idrogeno dal punto di vista della nuova meccanica quantistica”, viene ricevuto dallo Zeitschrift für Physik il 17 gennaio 1926 ma, a causa di alcune lungaggini editoriali, sarà effettivamente pubblicato solamente più di due mesi dopo, il 27 marzo.

In quello stesso periodo, come sappiamo, il problema dell’atomo di idrogeno viene attaccato anche in Inghilterra da Dirac, che però lo affronta in una maniera molto più generale, di fatto risolvendo il problema della quantizzazione di un qualunque sistema espresso in termini di variabili azione-angolo. Applicando tale teoria al caso dell’atomo di idrogeno, Dirac è in grado di calcolare i relativi livelli energetici arrivando a un’espressione del tipo

\omega_{n} = \frac{m e^{4}}{2\hbar} \left( \frac{1}{P^2} - \frac{1}{(P+n\hbar)^{2}}\right)

Sulla base di ragionamenti euristici assume poi che la quantità che ha chiamato P sia pari a un multiplo intero di \hbar, il che gli permette di ricondurre la formula precedente a quella ottenuta da Bohr. Questi risultati andranno a costituire il suo lavoro successivo, “La meccanica quantistica e uno studio preliminare dell’atomo di idrogeno“, completato il 22 gennaio del 1926 (cinque giorni dopo quello di Pauli). Nel frattempo, Dirac ha già saputo da Heisenberg della soluzione dell’atomo di idrogeno nella meccanica delle matrici a opera di Pauli, e ha anche ricevuto le bozze del relativo articolo (che infatti citerà in una nota a pié di pagina). Tuttavia sarà la soluzione di Dirac ad andare in stampa per prima, nel fascicolo di marzo dei Proceedings della Royal Society, grazie al suo canale preferenziale con la rivista in questione. Ciò nonostante, la priorità nel trattamento dell’atomo di idrogeno sulla base della nuova meccanica verrà in genere riconosciuta a Pauli, sulla base delle date di ricezione degli articoli da parte delle rispettive riviste (i cinque giorni sopra ricordati). Per la seconda volta, il povero Dirac si vedeva superato in volata sul traguardo; e a poco valeva, come consolazione, la solita lettera di Heisenberg che si congratulava per i risultati ottenuti.

L’anno 1926 si apre quindi all’insegna dell’ottimismo: finalmente la fisica atomica non sembra più quel mistero inestricabile che era apparsa per vent’anni. La nuova meccanica, sia essa considerata nella sua versione matriciale made in Göttingen o in quella più algebrica propugnata con tenacia da Dirac, ha già dimostrato di essere all’altezza della vecchia teoria dei quanti di Bohr e promette di andare ben oltre. Tutto ci si poteva aspettare a questo punto, tranne che all’orizzonte si affacciasse una terza teoria, dal carattere completamente diverso rispetto alle due appena ricordate e in aperta competizione con esse! Eppure, sarà proprio quello che succederà; ma per capire come dobbiamo nuovamente fare un salto indietro nel tempo di poco più di un anno, per raccontare di quando un giovane nobile francese mise in grande imbarazzo quattro celebri professori della Sorbona… (continua)