Ci sono due notizie, una buona e una cattiva…

30/12/2016

Quella buona è che ho deciso di ricominciare a scrivere su un blog in maniera regolare (diciamo facendo più di un post all’anno), portare a termine la serie sulla storia della meccanica quantistica e magari provare a portare avanti qualcuno degli altri (tanti) progetti che avevo messo in cantiere anni fa.

Quella cattiva è che tutto ciò non avverrà su queste pagine, ma su quelle del mio nuovo (si fa per dire: esiste da un anno…) sito personale, in cui è già stato creato un secondo blog che ha ereditato tutti gli articoli qui presenti. Il lato negativo è che per continuare a seguirmi dovrete cambiare l’indirizzo del feed RSS; quello positivo è che finalmente non dovrete più sorbirvi le pubblicità di WordPress in fondo agli articoli. Mi pare che tutto sommato il gioco valga la candela, no?

Non ho comunque intenzione di cancellare questo blog, almeno per ora; anzitutto perché non mi costa niente, e secondariamente perché ci potrebbero essere dei link che puntano a pagine su questo sito, e mi sembra brutto romperli senza motivo. Se però sei capitato qui seguendo uno di questi link, sappi che queste pagine non saranno più aggiornate. Per chi vuole, l’appuntamento con i miei prossimi articoli sarà quindi solo ed esclusivamente sul mio nuovo blog. Ci si rivede lì!


Il necrologio che non avete letto sui giornali

14/11/2014

Ci ha lasciato ieri, a 86 anni compiuti, Alexander Grothendieck, uno dei matematici più influenti del ventesimo secolo. Di padre russo e madre tedesca, è arrivato da profugo in Francia nel 1939 (a 11 anni) e da allora ha sempre vissuto nel paese d’oltralpe. In una carriera durata (essenzialmente) vent’anni ha dato contributi fondamentali in analisi funzionale, algebra omologica, K-teoria, teoria delle categorie e geometria algebrica (che ha letteralmente rivoluzionato). Se nell’ultimo secolo c’è stato un matematico a cui si possa attribuire il titolo di «universalista», questo è lui. Eppure sono certo che il 99,99% delle persone al mondo (ed è una stima ottimistica) non ne abbia mai sentito parlare.

Per chi volesse approfondire la conoscenza di questo personaggio  — e fidatevi che merita, la sua vita è stata quanto di più lontano ci possa essere dai classici cliché della professione — non posso che consigliare la stupenda biografia che Allyn Jackson gli ha dedicato 10 anni fa nelle Notices of the American Mathematical Society, liberamente disponibile su internet: qui trovate la prima parte e qui la seconda. Da segnalare anche questo articolo, scritto dal suo amico e collaboratore Pierre Cartier.

Addio Alexander, e grazie per tutto quello che ci hai insegnato.


Cambiamenti

03/09/2014

Il tempo passa, le stagioni si avvicendano, le borse di post-doc finiscono, e anche per questo vecchio blog (ormai in ibernazione da tempo immemore) si avvicina l’ora di un cambiamento. Un’evoluzione, possibilmente, che ne faccia qualcosa di più di un semplice posto dove scrivere qualcosa ogni tanto. Con dei progetti che magari, una volta partiti, arrivino prima o poi a conclusione (ehm…). Stando attenti però a non fare il passo più lungo della gamba.

Chissà se sarei davvero in grado di gestire un blog di questo tipo? Di sicuro prossimamente avrò tempo libero in abbondanza, quindi può valere la pena di tentare. Per caso qualcuno di voi conosce un buon servizio di hosting?


Cent’anni fa

24/04/2014

Il 24 Aprile 1914 i fisici James Franck e Gustav Hertz presentarono per la prima volta in pubblico i risultati di un esperimento che li aveva tenuti impegnati per alcuni mesi (e a cui avevamo accennato ormai tanto tempo fa). Nell’esperimento si mostrava come un elettrone, urtando un atomo di mercurio, potesse perdere solo una quantità di energia esattamente pari a 4.9 elettronvolt: è la prima osservazione diretta della quantizzazione dei livelli energetici in un atomo. Per una descrizione più accurata non posso che indirizzarvi al filmato seguente, che non è altro che uno dei famosi film del PSSC realizzati alla fine degli anni ’50 al MIT (e successivamente tradotti in italiano), avente come oggetto proprio questo esperimento:

Da non perdere il cameo (non nel senso del budino…) finale di Franck!


La nascita della meccanica quantistica, parte 8: “La quantizzazione come problema agli autovalori”

20/10/2013

(Indice delle puntate precedenti: parte 0, parte 1, parte 2, parte 3, parte 4, parte 5, parte 6, parte 7)

SchrodingerErwin Rudolf Joseph Alexander Schrödinger nasce il 12 agosto 1887 a Vienna. Suo padre è il proprietario di una piccola fabbrica di linoleum, ma è anche un uomo di grande cultura in molti campi tra cui la chimica e la botanica, mentre la madre è la figlia di un professore inglese di chimica della Technische Hochschule (politecnico) di Vienna. Con queste premesse, non c’è da meravigliarsi del fatto che il giovane Erwin riceva fin dal principio un’educazione con tutti i crismi, venendo seguito da un tutore privato fino ai 10 anni per poi entrare (1898) nell’Akademisches Gymnasium, la scuola secondaria più prestigiosa di Vienna, che gli garantirà un solido curriculum di studi sia umanistici che scientifici. Qui si mette già in luce per le sue capacità, come racconterà in seguito un compagno di classe:

Specialmente in fisica e in matematica, Schrödinger aveva un dono per la comprensione che gli permetteva, senza fare alcun compito, di cogliere ed essere in grado di applicare subito tutto il materiale svolto in classe. Dopo la lezione […] il nostro professore poteva chiamare immediatamente Schrödinger alla lavagna e porgli dei problemi, che lui risolveva con giocosa facilità.

Nonostante questa grande abilità nelle materie scientifiche, Schrödinger manterrà comunque per tutta la vita un vivo interesse per la letteratura e lo studio delle lingue, tanto che in aggiunta alle due lingue “di casa” (tedesco e inglese) diventerà fluente anche in francese e spagnolo, oltre a conoscere il greco antico e il latino.

Dopo essersi diplomato nell’estate del 1906, Schrödinger entra all’università di Vienna con l’idea di proseguire gli studi in fisica e matematica. Tra i suoi professori quelli che esercitano su di lui l’influenza più grande sono Franz Exner, forse in quel momento il fisico più importante dell’impero austro-ungarico (tanto che nel 1908 assumerà il ruolo di cancelliere dell’università di Vienna), e soprattutto Friedrich Hasenöhrl, già allievo del grande Ludwig Boltzmann (quest’ultimo si era suicidato il 5 settembre del 1906, poco prima dell’ingresso all’università di Schrödinger, che quindi non avrà modo di conoscerlo). Hasenhörl, che è appena stato nominato (a soli 32 anni) successore del suo maestro alla cattedra di fisica teorica dell’università di Vienna, si è già costruito una fama di eccellente insegnante e sarà proprio da lui che Schrödinger impererà la meccanica analitica, la fisica dei mezzi continui e soprattutto i metodi risolutivi per quei problemi agli autovalori che, più di 15 anni dopo, saranno alla base dei lavori che rivoluzioneranno la nuova meccanica.

Ma non percorriamo i tempi: nel 1910, conclusi puntualmente gli studi, il ventiduenne Schrödinger si trova alle prese con la tesi di dottorato. Sebbene mostri già uno spiccato interesse per le questioni teoriche, decide di lavorare a un problema di carattere sperimentale suggeritogli dalle ricerche in corso nel laboratorio di Exner sui fenomeni di elettricità atmosferica. Così, il 20 maggio 1910, Schrödinger ottiene il titolo di dottore in fisica grazie a una tesi riguardante «la conduzione di elettricità sulla superficie di un isolante in aria umida», scritta sotto la supervisione di Egon Schweidler.

Dopo un anno di servizio militare come artigliere, Schrödinger ritorna a far parte dell’università nell’ottobre del 1911 ottenendo una posizione da “sostituto assistente” all’istituto di Exner, dove ha modo di collaborare con l’esperto fisico sperimentale Fritz Kohlrausch. In questa prima fase della sua carriera scientifica Schrödinger, oltre a continuare nello studio dell’elettricità atmosferica, ha modo di approfondire la sua conoscenza della fisica della materia occupandosi ad esempio delle proprietà dei materiali dielettrici (sui quali scriverà anche un articolo di review) e, dal 1912 in avanti, del fenomeno della diffrazione dei raggi X, appena scoperto a Monaco da Max von Laue. Su questi argomenti troverà un valido collaboratore nel suo quasi-coetaneo Hans Thirring, anche lui ai suoi primi passi nel mondo della ricerca.

Un altro momento importante arriva nel settembre del 1913, quando si tiene a Vienna la riunione della Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Ärzte (“società degli scienziati e fisiatri tedeschi”), la più antica e prestigiosa organizzazione scientifica del Reich, il cui scopo è quello di incentivare lo scambio culturale tra scienziati di diverse discipline. Uno dei protagonisti della riunione è Einstein, che parla del suo tentativo (in quel momento non ancora portato a compimento) di costruire una nuova teoria della gravità. La sua conferenza genera grande interesse da parte di tutti i fisici austriaci, ed è in questa occasione che Schrödinger acquista un interesse per la teoria della relatività che non lo abbandonerà per il resto della sua vita.

Il 9 gennaio 1914 Schrödinger ottiene l’abilitazione ad insegnare nell’università e il semestre successivo tiene subito un corso sui “fenomeni di interferenza di raggi X”. È interessante notare come ancora a questo stadio i suoi interessi siano divisi in parti pressoché uguali tra il lato teorico e quello sperimentale. Poco dopo la fine del semestre scoppia la prima guerra mondiale e Schrodinger viene immediatamente richiamato in servizio (agosto 1914) con il ruolo di ufficiale di artiglieria. Assegnato al fronte italiano, vi rimarrà a tempi alterni fino al 1917 e avrà anche modo di guadagnarsi una menzione d’onore al comando di una batteria di artiglieri durante una delle tante battaglie dell’Isonzo.

Durante la primavera del 1917 Schrödinger viene allontanato dal fronte e spedito ad insegnare un corso di metereologia alla scuola ufficiali di Wiener Neustadt, e ne approfitta per riprendere a pieno regime il lavoro di ricerca (che comunque non aveva mai abbandonato del tutto, continuando a spedire brevi note anche dal fronte su problemi di relatività generale e acustica). È proprio in questo periodo di relativa calma che Schrödinger inizia ad acquisire familiarità con la teoria dei quanti leggendo articoli di Planck, Einstein e altri. Il suo primo lavoro in merito però è, almeno in parte, sperimentale: nell’estate del 1919 formula infatti un’ipotesi secondo cui l’emissione dei quanti di luce nei processi atomici avviene in maniera “orientata”, cioè lungo una direzione ben definita, e procede in prima persona alla verifica di tale ipotesi nel suo laboratorio di Vienna. Gli esperimenti danno però esito negativo: gli effetti di interferenza tra quanti di luce provenienti dalla stessa sorgente permangono anche a grande distanza angolare. Si tratta in realtà dell’ultimo esperimento significativo nella carriera di Schrödinger, i cui interessi da qui in avanti prenderanno definitivamente la strada della teoria.

Questo non è l’unico cambiamento che l’austriaco si trova ad affrontare in quei mesi: a 33 anni suonati decide infatti di sposarsi con la sua fidanzata dell’epoca, Annemarie Bertel (detta Anny), una nativa di Salisburgo trasferitasi a Vienna per lavorare come segretaria. Non volendo procedere al grande passo senza avere uno stipendio fisso, Schrödinger inizia a sondare il terreno per un posto da assistente; la risposta dell’università però è scoraggiante, anche per via delle pessime acque in cui versa l’Austria a seguito della disfatta totale con cui si era conclusa la guerra. Nei primi mesi del 1920 Schrödinger decide allora di abbandonare l’istituto di fisica di Vienna per accettare una posizione come assistente di Max Wien offertagli dall’università di Jena, nella neonata repubblica di Weimar; il che gli consentirà tra l’altro di sposare Anny, il 24 marzo 1920.

Comincia così un periodo che non è esagerato definire da “girovago della fisica”: nel corso dei due anni successivi Schrödinger non passerà mai più di un semestre nella stessa città! Al termine del semestre estivo del 1920, sebbene a Jena fosse già pronta per lui una promozione, decide di trasferirsi alla Technische Hochschule di Stoccarda come professore straordinario. Anche la capitale della Svevia, però, riesce a trattenerlo solo per un semestre: nella primavera del 1921 accetta infatti un posto da professore ordinario offertogli a Breslau.

Ma evidentemente era destino che Schrödinger trovasse casa al di fuori dei confini tedeschi: all’inizio del semestre successivo arriva infatti un’offerta dall’università di Zurigo, che viene prontamente accettata. Il 15 ottobre 1921 Schrödinger viene così nominato professore di fisica teorica nella tranquilla città svizzera dove finalmente trova un ambiente a lui congeniale, oltre all’amicizia di colleghi del calibro di Hermann Weyl e Peter Debye. Nel corso dei quattro anni successivi Schrödinger scriverà ben 18 articoli di ricerca (più due di review) sugli argomenti più disparati: relatività, fisica atomica, teoria quantistica dei calori specifici, meccanica statistica dei gas, e persino la teoria dei colori e della loro percezione. Quest’ultimo campo di indagine, che si situa a cavallo tra fisica e neurobiologia, veniva usato da Schrodinger come un “rifugio” nel quale ritirarsi quando qualche altro problema lo teneva bloccato per troppo tempo.

In questa fase la produzione accademica di Schrödinger ha come caratteristica quella di apportare piccoli ma significativi miglioramenti a risultati già ottenuti da altri. Lui stesso descriverà così il suo stile:

Raramente il mio intervento costituisce la prima risposta a un problema; piuttosto è spesso la seconda, ed è stimolata dal desiderio di contraddire o correggere, sebbene in seguito lo sviluppo sistematico della mia risposta si riveli essere molto più importante della contraddizione originaria, che serve solo a far partire la nuova teoria.

In un certo senso questo stesso meccanismo è alla base degli articoli fondativi della meccanica ondulatoria, che nascono come risposta alle audaci idee di de Broglie che noi ben conosciamo.

SchrodingerCome molti suoi colleghi, Schrödinger viene per la prima volta a conoscenza dei lavori del francese leggendo, nell’estate del 1925, la seconda parte della memoria Quantentheorie des einatomigen idealen Gases (“Teoria quantistica del gas ideale monoatomico”) in cui Einstein, sviluppando un lavoro del fisico indiano Satyendra Bose, introduce quella che oggi è giustamente nota come statistica di Bose-Einstein. Incuriosito da una nota a pié di pagina in cui il buon Albert, en passant, nota che nella tesi di dottorato di de Broglie si trova «una notevole interpretazione geometrica della regola di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld», Schrödinger cerca subito di procurarsi una copia della dissertazione, che però arriverà nelle sue mani solo alla fine di ottobre. Il 16 novembre scrive all’amico Alfred Landé:

Negli ultimi giorni mi sono occupato in dettaglio dell’ingegnosa tesi di Louis de Broglie. È straordinariamente stimolante; tuttavia, alcuni punti sono ancora molto difficili da capire. Ho tentato invano di visualizzare l’onda di fase di un elettrone in un’orbita Kepleriana…

Dopo aver assorbito le idee di de Broglie, Schrödinger compie un passo in avanti decisivo. Ammesso che, come sostiene il francese, ad ogni particella si possa associare un’onda, la domanda da farsi diventa: qual è l’equazione differenziale che governa l’evoluzione di queste onde? Purtroppo non sappiamo, e probabilmente non sapremo mai, quale sia stata l’intuizione che ha portato Schrödinger a porre il problema in questi termini. Se diamo retta ai racconti (di molto posteriori) dei suoi colleghi Debye e Bloch, l’idea potrebbe essere venuta da una domanda (forse dello stesso Debye) che Schrödinger aveva ricevuto al termine di un seminario in cui aveva illustrato la teoria di de Broglie ai suoi colleghi di Zurigo.

Comunque siano andate le cose, alla fine di novembre Schrödinger si mette in caccia di una “equazione d’onda” che determini l’ampiezza delle onde di fase di un elettrone in un atomo di idrogeno. Inizialmente, come già aveva fatto de Broglie, Schrödinger imposta i suoi conti nel quadro della relatività speciale, che si sapeva ormai essere la teoria corretta per trattare i fenomeni elettromagnetici, e arriva così a un’uguaglianza del tipo

\nabla^{2}\psi + \frac{4\pi^{2}}{h^{2}}\left( \left( h\nu + \frac{e^{2}}{r}\right)^{2} - m^{2}c^{4}\right) \psi = 0

che può essere vista come una equazione agli autovalori per la funzione d’onda \psi. (In termini moderni, si tratta della versione stazionaria di quella che poco più tardi prenderà il nome di equazione di Klein-Gordon.) C’è però una brutta sorpresa in arrivo: l’espressione dei livelli energetici per l’atomo di idrogeno che si ottiene risolvendo questa equazione non coincide con la formula (anch’essa relativistica) che Sommerfeld aveva ottenuto 10 anni prima, e che si sapeva essere in ottimo accordo con i dati sperimentali! Deluso da questo primo fallimento, Schrödinger molla lì tutto per qualche settimana e passa la prima metà di dicembre a completare due articoli su altri argomenti. Con la fine del semestre si presenta però l’occasione propizia per riprendere in mano il problema.

Per le vacanze di Natale del 1925 Schrödinger si reca ad Arosa, località montana nel cantone dei Grigioni dove andava regolarmente in vacanza fin dal 1922. Spiace indugiare nel gossip, ma ci tocca segnalare che non è da solo: lo accompagna una gentile signora che non è la moglie Anny ma una sua “amica” di Vienna, la cui identità è a tutt’oggi sconosciuta. La cosa non deve stupire più di tanto: gli Schrödinger erano una coppia decisamente aperta, tant’è vero che in quello stesso periodo Anny aveva una relazione stabile con il già citato Hermann Weyl (senza, peraltro, che ciò pregiudicasse in alcun modo il rapporto di amicizia tra i due colleghi). Lo stesso Weyl, molti anni più tardi, approfitterà di queste curiose circostanze per prendere in giro l’amico, dichiarando che Schrödinger ha scritto il suo capolavoro durante «a late erotic outburst in his life».

Scappatella o meno, è proprio durante le due settimane di vacanza ad Arosa che Schrödinger trova la strada giusta per risolvere il problema dell’equazione d’onda. Lasciando da parte (seppur a malincuore) la relatività, Schrödinger replica il ragionamento che aveva già compiuto un mese prima usando però le espressioni classiche per energia e momento dell’elettrone. L’equazione che ne risulta è

\nabla^{2}\psi + \frac{4\pi^{2}}{h^{2}} 2m \left( h\nu + \frac{e^{2}}{r} - mc^{2}\right) \psi = 0

Con grande sorpresa dell’austriaco, questa volta il calcolo dei livelli energetici dà lo stesso risultato della formula (non relativistica) di Bohr! Sappiamo che Schrödinger era già in possesso di questa cruciale conferma a Natale, poiché Il 27 dicembre scrive in una lettera a Wilhelm Wien (editor della rivista Annalen der Physik, da non confondersi con quel Max Wien con cui aveva lavorato a Jena):

Al momento sono tormentato [sic] da una nuova teoria atomica […] Credo di poter scrivere un sistema vibrante — costruito in una maniera completamente naturale e senza assunzioni ad hoc — che ha come sue frequenze proprie i termini spettrali dell’atomo di idrogeno. […] Spero di riuscire presto a scrivere qualcosa di un po’ più dettagliato e illuminante su questo argomento. Al momento devo ancora capire la matematica necessaria per gestire pienamente il problema vibrazionale — si tratta di una equazione differenziale lineare simile a quella di Bessel, ma meno nota e che esibisce strane condizioni al contorno; queste sono connesse con l’equazione stessa e non imposte dal di fuori.

Schrödinger passa il resto delle sue vacanze (per la gioia, immaginiamo, della sua compagna…) riempiendo di idee un quaderno di 72 pagine che intitola Eigenwertproblem des Atoms I (“Problema agli autovalori dell’atomo”).

Di ritorno a Zurigo, Schrödinger riesce a superare (con l’aiuto dell’esperto Weyl) le difficoltà matematiche che aveva menzionato nella lettera a Wien ed è così in grado di dedurre con i suoi metodi l’intera struttura dei livelli energetici di un elettrone nell’atomo di idrogeno, sia nella sua componente discreta (livelli di Bohr) che in quella continua (che corrispondono agli stati non legati). Tutto è pronto per annunciare la scoperta della nuova teoria, il che avverrà (come promesso a Wien) con un lavoro sugli Annalen.

L’articolo, che viene ricevuto il 27 gennaio 1926 e uscirà a stampa a metà marzo, porta il titolo programmatico di Quantisierung als Eigenwertproblem («La quantizzazione come problema agli autovalori»), seguito dal minaccioso inciso Erste Mitteilung («Prima comunicazione») che lascia presagire una lunga serie di sequel. Questa prima nota si apre con una deduzione euristica dell’equazione d’onda a partire da un principio variazionale (che verrà successivamente scartata dallo stesso Schrödinger in favore di altri approcci), immediatemente seguita dall’esempio fondamentale dell’atomo di idrogeno svolto in ogni dettaglio. L’ideologia che anima il lavoro emerge chiaramente sin dal primo paragrafo:

In questa comunicazione posso anzitutto mostrare nel caso più semplice dell’atomo di idrogeno (non relativistico e imperturbato) che la consueta prescrizione di quantizzazione si può sostituire con un altro postulato nel quale non si parla più di “numeri interi”. Il carattere discreto compare invece nello stesso modo naturale in cui il numero dei nodi di una corda musicale oscillante è un intero. La nuova interpretazione può essere generalizzata e giunge, credo, assai in profondo nella vera essenza delle prescrizioni quantistiche.

È impossibile non notare l’avversione di Schrödinger per l’idea stessa di quantizzazione “alla Planck”, ottenuta postulando esplicitamente che determinate grandezze fisiche possano assumere solo valori discreti pari a multipli interi di un quanto elementare.

La maggiore difficoltà concettuale che la nuova teoria si trova a dover affrontare è, ovviamente, quello di chiarire il significato della funzione d’onda. Nella sua prima comunicazione Schrödinger rimane piuttosto abbottonato:

È evidentemente assai naturale associare la funzione \psi a un processo di oscillazione nell’atomo, che gli si adatta in maggior misura della oggi assai dubitata realtà delle traiettorie elettroniche. Avevo originariamente l’intenzione di fondare la nuova forma della prescrizione quantistica in questo modo più intuitivo, ma ho presentato poi la forma matematica neutrale di cui sopra perché essa fa risaltare l’essenziale in modo più chiaro.

Nella seconda comunicazione, spedita agli Annalen meno di un mese più tardi (23 febbraio) e pubblicata il 6 aprile, Schrödinger è più deciso. Anzitutto riprende, come già aveva fatto de Broglie prima di lui, la cosiddetta analogia ottico-meccanica di Hamilton, secondo cui le leggi della meccanica di un punto materiale (principio di Maupertuis) sono formalmente analoghe a quelle dell’ottica geometrica (principio di Fermat) facendo corrispondere alla velocità di fase dell’onda la quantità meccanica E/\sqrt{2m(E-U)}. Tuttavia, nota Schrödinger, questa analogia è strettamente legata al fatto di lavorare nell’approssimazione dell’ottica geometrica, poiché

[…] concetti anche importanti della teoria delle onde come ampiezza, lunghezza d’onda, frequenza — o parlando più in generale la forma d’onda — non compaiono nell’analogia, manca per essi un corrispettivo meccanico; neppure della funzione d’onda stessa si può parlare…

Poco più avanti esplicita l’ipotesi alla base del suo lavoro:

Oggi sapiamo che la nostra meccanica classica fallisce per dimensioni dei camini assai piccole e per curvature dei cammini assai forti. Forse questo fallimento è completamente analogo al fallimento dell’ottica geometrica, cioè dell’ottica per lunghezze d’onda infinitamente piccole, che avviene notoriamente quando gli “schermi” o le “aperture” non sono più grandi rispetto alla lunghezza d’onda reale, finita. Forse la nostra meccanica classica è completamente analoga all’ottica geometrica e come tale è falsa, non è in accordo con la realtà, fallisce quando i raggi di curvatura e le dimensioni del cammino non sono più grandi rispetto ad una certa lunghezza d’onda, che nello spazio delle q assume significato reale. Allora vale la pena di cercare una “meccanica ondulatoria” — e la via più naturale per questo è certo lo sviluppo nel senso della teoria delle onde dell’idea di Hamilton.

La mecanica ondulatoria, nata appena un mese prima con il lavoro sull’atomo di idrogeno, viene qui ufficialmente battezzata.

Schrödinger prosegue assumendo che la dipendenza della funzione d’onda dal tempo sia di tipo sinusoidale, ovvero che sia possibile una fattorizzazione del tipo

\psi(q,t) = \psi(q) \exp (2\pi i (E/h) t)

Sostituendo la funzione così ottenuta nell’ordinaria equazione delle onde e usando per la velocità di fase l’espressione v = E/\sqrt{2m(E-U)} suggerita dall’analogia ottico-meccanica, ottiene

\nabla^{2}\psi + \frac{8\pi^{2}m}{h^{2}} (E-U)\psi = 0

che riconosciamo subito come la versione stazionaria della “sua” equazione. La velocità di gruppo dell’onda risulta essere pari a \sqrt{2/m (E-U)}, ovvero quella che classicamente è la velocità del punto materiale, il che permette di recuperare la meccanica classica come limite di quella ondulatoria:

Questa circostanza si può ora utilizzare per stabilire un legame assai più profondo di prima tra propagazione dell’onda e moto del punto immagine. Si può provare a costruire un gruppo d’onde che in tutte le direzioni abbia dimensioni relativamente piccole. Un tale gruppo d’onde seguirà allora prevedibilmente le stesse leggi del moto del singolo punto immagine del sistema meccanico. Esso potrà fornire per così dire un surrogato (Ersatz) del punto immagine, purché si possa trascurare la sua estensione rispetto alle dimensioni del cammino del sistema.

Schrödinger conclude presentando altre applicazioni della nuova meccanica a sistemi semplici: l’oscillatore armonico (per cui ottiene la medesima espressione dei livelli energetici trovata da Heisenberg sei mesi prima), il rotore rigido e la molecola diatomica.

L’impatto delle scoperte che abbiamo appena descritto sulla comunità internazionale dei fisici in quei primi mesi del 1926 sarà devastante: le due comunicazioni del trentottenne fisico austriaco verranno lette, studiate e analizzate in ogni dettaglio praticamente da chiunque, e le reazioni non tarderanno ad arrivare… ma questo sarà materiale per la prossima puntata. (continua)


Finalmente!

16/10/2013

Con il consueto ritardo, la redazione (?) di Untitled #0 registra con grande piacere l’assegnazione del premio Nobel per la fisica agli esimi François Englert (80 anni) e Peter Higgs (84). Il bosone di Higgs(-Brout-Englert-Guralnik-Hagen-Kibble e chi più ne ha più ne metta…) era considerato fino all’anno scorso l’ultimo mattone della complessa costruzione teorica nota come modello standard ad essere ancora privo di riscontri diretti; con la conferma definitiva della sua osservazione, arrivata (come ricorderete) il 4 Luglio dell’anno scorso, si può dunque dire che il modello standard è ora confermato in ogni sua parte dagli esperimenti. Proprio per questo motivo può essere interessante andare a scavare un po’ nella storia dei Nobel per vedere quante volte il prestigioso premio è stato assegnato a un lavoro che ha contribuito alla costruzione di questa teoria.

Lasciando da parte i premi dedicati alle scoperte sperimentali (che meriterebbero un discorso a sé stante), il primo Nobel che ha qualcosa a che vedere con la moderna teoria delle particelle elementari è probabilmente quello del 1949, assegnato al giapponese Hideki Yukawa per un celeberrimo lavoro (risalente al 1935) in cui prediceva l’esistenza di una particella mediatrice dell’interazione nucleare forte che, con un po’ di hindsight, è stata poi identificata col pione. Tanto per essere chiari, siamo ancora lontanissimi dalle idee alla base del modello standard, che sono molto più recenti; e tuttavia il nome di Yukawa è ancora oggi familiare ad ogni fisico teorico che si rispetti, per via del tipo di interazione da lui introdotta.

Nel decennio successivo, e precisamente nel 1957, viene premiato un altro contributo teorico fondamentale che viene dall’Oriente: questa volta sono i cinesi Tsung-Dao Lee e Chen-Ning Yang (che però lavorano negli USA) ad aggiudicarsi il Nobel, grazie a un lavoro uscito l’anno precedente (!) su Physical Review in cui fanno notare che quella che era stata considerata da tutti fino a quel momento una legge di natura, la conservazione della parità, poteva in realtà essere violata da alcuni processi governati dall’interazione nucleare debole, tra cui il decadimento beta. I due suggeriscono anche alcuni esperimenti per verificare se tali violazioni avvengano o meno, e convincono la loro connazionale (e collega di Lee alla Columbia University) Chien-Shiung Wu ad effettuare il test. I risultati, pubblicati all’inizio del 1957, sono sorprendenti ma inequivocabili: il decadimento beta non conserva la parità, e il premio Nobel per i due teorici (ma non per la povera madame Wu!) arriva pochi mesi dopo.

Un altro salto in avanti nel tempo e arriviamo al Nobel del 1965, che celebra quello che è a tutti gli effetti il primo pezzo del modello standard: l’elettrodinamica quantistica, o QED per gli amici. I tre premiati sono gli americani Richard Feynman e Julian Schwinger e il giapponese Shinichiro Tomonaga, che non sono in realtà gli inventori della teoria quanto piuttosto quelli che l’hanno fatta funzionare, ponendo tra l’altro le basi della tecnica della rinormalizzazione. Sul finire degli anni ’60, e per la precisione nel 1969, arriva poi il premio a Murray Gell-Mann, naturalmente per il suo modello a quark, introdotto nel 1964. Anche qui, sebbene la teoria che usiamo oggi per descrivere gli adroni (la cromodinamica quantistica, o QCD) sia ben più sofisticata del modello di Gell-Mann, il ruolo storico giocato da quest’ultimo è innegabile: basti pensare all’origine stessa del termine “quark”!

Dieci anni più tardi, nel 1979, arriva la consacrazione di un altro pezzo fondamentale del modello standard: la teoria elettrodebole, con il premio nobel assegnato a Abdus Salam, Sheldon Glashow e Steven Weinberg. Per inciso, l’articolo in cui quest’ultimo pone a tutti gli effetti le basi del modello standard, intitolato con modestia «A model of leptons» (ma che ben presto sarebbe diventato the model of leptons!), è meritatamente uno degli articoli più citati nella storia della fisica: mentre scrivo questo post Inspire segnala 8614 citazioni (and counting, come si suol dire).

Tre anni più tardi, nel 1982, non possiamo non segnalare il premio Nobel al recentemente scomparso Ken Wilson, che oserei definire il primo uomo che abbia davvero capito cosa sia la rinormalizzazione, nonché un pioniere dello studio delle teorie di campo su reticolo (e molto altro).

Dopo Wilson i premi Nobel relativi alla struttura teorica del modello standard si prendono una lunga pausa: dobbiamo infatti attendere il 1999 perché l’altra grande teoria fondante della fisica delle particelle contemporanea, la già menzionata QCD, venga finalmente celebrata con il Nobel agli olandesi Gerard ‘t Hooft e Martinus Veltman. Ancora una volta ad essere premiati non sono gli ideatori della teoria (che peraltro sono parecchi, a iniziare da Chen-Ning Yang (ancora lui!) e Robert L. Mills) ma coloro che la rendono predittiva dimostrandone la rinormalizzabilità in due lavori del 1971 (detto per inciso, ‘t Hooft era allora un giovanotto di 25 anni che stava facendo il dottorato, e Veltman il suo relatore…).

La QCD, ormai definitivamente sdoganata, torna alla ribalta cinque anni dopo con il premio Nobel 2004 assegnato agli americani David Gross, Frank Wilczek e H. David Politzer, per aver scoperto nel 1973 (i primi due assieme, il terzo indipendentemente) un’importante proprietà della teoria nota come libertà asintotica. Nel frattempo il modello standard esce trionfante dai test sempre più stringenti a cui viene sottoposto (al CERN, al Fermilab e altrove), e così nel 2008 arrivano altri tre premi, ai giapponesi Makoto Kobayashi, Toshihide Maskawa (che si dovrebbe traslitterare Masukawa, ma tant’è…) e Yoichiro Nambu, i primi due per un lavoro del 1972 in cui, sulla base di requisiti di consistenza, ipotizzano l’esistenza di una terza generazione di quark, e il terzo per i suoi contributi (risalenti ai primi anni ’60!) alla teoria della rottura spontanea di simmetria, in una specie di antipasto al premio di quest’anno.

Al termine di questa carrelata è impossibile non notare con una certa preoccupazione in quale maniera si sia dilatato, negli ultimi decenni, il tempo che intercorre tra la pubblicazione di un lavoro “degno del Nobel” e l’effettiva attribuzione del premio. Per evidenziare ancora di più la cosa mi sono divertito a fare un veloce grafico:

Grafico ritardo premi Nobel

In ascissa c’è l’anno di attribuzione del Nobel (con lo zero che corrisponde al 1955) e in ordinata il numero di anni trascorsi tra la pubblicazione del lavoro cui si fa riferimento nelle motivazioni del premio e l’attribuzione del premio stesso. (Per il Nobel del 2008 ho preso in considerazione l’articolo di Kobayashi-Maskawa; il puntino di Nambu starebbe molto più in alto, molto vicino a quello di quest’anno…)

Il grafico precedente illustra bene il passaggio dal Nobel “istantaneo” a Lee e Yang nel ’57 al Nobel, diciamo così, “maturo” della settimana scorsa (sono passati 49 anni dagli articoli di Higgs e Brout-Englert!). Stando così le cose non sorprende affatto che il coautore di Englert, il povero Robert Brout (classe ’28, e dunque solo di un anno più anziano di Higgs), non ce l’abbia fatta ad arrivare al giorno del trionfo.

Ovviamente questa dilatazione dei tempi (che per una volta non ha nulla a che vedere con la teoria della relatività!) ha dei motivi, alcuni palesi (era oggettivamente difficile premiare Higgs senza una conferma definitiva del meccanismo da lui ideato, e d’altro canto l’osservazione del bosone di Higgs ha richiesto uno sforzo immenso da parte di migliaia di persone) e altri un po’ meno (ad esempio correva voce che il premio Nobel a Gross fosse stato ritardato di molti anni da una sorta di “veto” da parte di una personalità di grande influenza… provvidenzialmente deceduta poco prima del 2004). È anche vero che l’accademia svedese delle scienze è storicamente piuttosto diffidente verso i teorici: sia Planck che Einstein dovettero aspettare circa 16 anni per vedere riconosciuto il valore delle loro scoperte (e Einstein fu premiato per la spiegazione dell’effetto fotoelettrico, non certo la prima cosa per cui lo ricordiamo oggi…), Pauli 21 anni e Max Born addirittura 28 (ma in questi due casi si è messa di mezzo anche la seconda guerra mondiale).

Sia come sia, con le prospettive che si fanno sempre più nere per la fisica delle alte energie (dopo l’LHC il nulla?), è forse proprio in questi anni che stiamo assistendo agli ultimi premi Nobel che verranno attribuiti in questo campo.


I primi passi di una rivoluzione silenziosa

18/08/2013

Esattamente 22 anni fa entrava in funzione un servizio destinato a rivoluzionare il mondo della ricerca. Sto parlando dell’arXiv, un archivio di articoli scientifici (pubblicati o in versione preliminare) caratterizzato dal fatto di essere ad accesso totalmente libero per chiunque. Per avere un’idea delle sue dimensioni attuali non c’è modo migliore di dare un’occhiata all’incredibile mappa interattiva che è stata prodotta dal progetto paperscape:

Mappa dell'arXiv

La galassia degli articoli su arXiv

Ma come è nato questo deposito di articoli (o e-prints) che, soprattutto in alcuni campi della fisica e della matematica, è ormai diventato un punto di riferimento imprescindibile? La storia ce la racconta nientemeno che il suo ideatore, il fisico teorico americano Paul Ginsparg, in questo articolo (reperibile indovinate un po’ dove?) di due anni fa.

Tutto comincia nella primavera del 1991, quando Ginsparg si trasferisce da Harvard ai laboratori di Los Alamos, nel New Mexico, celebri per essere stati il luogo dove Fermi, Oppenheimer e gli altri membri del progetto Manhattan costruirono nel 1945 le prime bombe nucleari. Arrivato nel suo nuovo ufficio, Ginsparg scopre con piacere di avere a disposizione, per la prima volta in carriera, un computer tutto per lui (una NeXTstation a 25 MHz con hard disk da 105 Mb e 16 Mb di RAM) e ne approfitta per mettere in pratica un’idea che gli girava in testa da un po’ di tempo.

Dobbiamo anzitutto precisare che all’epoca Internet non c’era ancora, o meglio stava nascendo proprio in quegli anni. La principale infrastruttura di rete, il cosiddetto backbone, era fornita dalla NSFNet, una rete creata nel 1985 per iniziativa della National Science Foundation che aveva raccolto il testimone dalla precedente ARPANET. Nel 1991 la NSFNet collegava tra loro 13 nodi sparsi per gli Stati Uniti alla straordinaria (per i tempi) velocità di 1.5 Mbit/s:

Rete NSFNet nel 1991

Le più piccole reti regionali potevano poi mettersi in comunicazione tra di loro collegandosi al nodo NSFNet più vicino.

Questo primo abbozzo di rete globale fu fondamentale per facilitare i contatti tra gli accademici statunitensi e l’uso delle e-mail, prima limitato alle reti locali nelle singole università, divenne presto un’abitudine anche per le comunicazioni a lunga distanza. Tra l’altro, se diamo retta a Ginsparg, pare che sia stato proprio lui il primo ad avere l’idea di inserire tra i dati presenti nella testata dei propri articoli anche l’indirizzo e-mail, per la prima volta in questo lavoro del dicembre 1987:

Prima pagina del lavoro di Dixon, Ginsparg e Harvey

…anche se relegato nelle note a pié di pagina

Un’altra cruciale innovazione di quegli anni fu la diffusione capillare del programma di typesetting TeX, la cui versione “definitiva” era uscita due anni prima (1989). Molti ricercatori, soprattutto tra i più giovani, si erano convertiti rapidamente all’uso del nuovo sistema, soprattutto per via della notevole semplificazione che garantiva nella composizione delle formule matematiche.

Con la diffusione dei documenti elettronici i tempi erano maturi per pensare a una infrastruttura che facilitasse la diffusione rapida e su larga scala dei nuovi articoli non ancora arrivati alla pubblicazione su rivista (tipicamente perché in attesa di peer review), i cosiddetti preprint. I primi tentativi in tal senso furono compiuti affidandosi a delle mailing list gestite manualmente, ma iscriversi a una mailing list di questo tipo significava correre costantemente il rischio di vedere la propria casella e-mail intasata dagli articoli in arrivo. Fu così che Ginsparg ebbe l’idea di creare un sistema completamente automatizzato che fosse in grado di ricevere ed archiviare i preprint, divulgare periodicamente una lista contenente i titoli e gli abstract dei preprint ricevuti, e infine distribuire gli articoli veri e propri su richiesta.

Nasce così la prima incarnazione del’arXiv, un rudimentale server e-mail (e, qualche mese dopo, anche FTP) gestito da un insieme di script csh, reperibile allo storico indirizzo xxx.lanl.gov (il curioso nome “xxx”, che ovviamente non ha nulla a che fare con la pornografia, deriva dalla sigla che Ginsparg era solito inserire nei suoi sorgenti TeX dove c’era qualcosa da correggere.) Il successo fu immediato: Ginsparg si aspettava un centinaio di preprint all’anno, ne arrivarono 400 nei primi sei mesi. L’onore della prima submission, ricevuta il 14 Agosto 1991, spettò al noto stringhista Gary Horowicz assieme a J. H. Horne, mentre in quarta posizione (16 Agosto) troviamo nientemeno che Ed Witten, peraltro non con uno dei suoi lavori più famosi, e appena fuori dalla top ten (21 Agosto) c’è il primo contributo di un altro grosso calibro, Ashoke Sen.

Curiosamente, l’idea iniziale era di cancellare i preprint archiviati dopo tre mesi dalla loro ricezione, quando in teoria essi sarebbero stati resi obsoleti dalla pubblicazione su rivista dell’articolo corrispondente; ma Andrew Strominger fece giustamente notare a Ginsparg che poter ottenere istantaneamente la copia di un articolo via e-mail è molto più comodo rispetto al perdere delle ore a cercare la relativa stampa nel proprio ufficio, e così nulla venne mai cancellato.

Ben presto cominciarono a spuntare “cloni” dell’archivio originale (ufficialmente denominato hep-th, che sta per high energy physics – theory) relativi ad altre aree della fisica e della matematica: così il 5 Febbraio 1992 nasce l’archivio alg-geom (geometria algebrica) all’indirizzo eprints.math.duke.edu (oggi non più in uso), mentre l’8 Marzo arriva, a grande richiesta, l’archivio hep-ph (fenomenologia). Un poco più tardi, il 7 Aprile, nasce hep-lat (teorie su reticolo) e tre giorni più tardi arrivano astro-ph (astrofisica), cond-mat (fisica dello stato solido) e funct-an (analisi funzionale), questi ultimi ospitati in Italia, su un server della SISSA (oggi, purtroppo, anch’esso defunto).

Nell’autunno del 1992 Ginsparg viene a conoscenza di una nuova e interessante tecnologia da poco sviluppata al CERN, e decide di dare una mano alla libreria dello SLAC per mettere online un server web (il primo su suolo americano!) che consentisse, tra le altre cose, di accedere a un’altra storica risorsa che ogni fisico conosce ed ama, il database SPIRES (recentemente ribattezzato inspire). Un sito web per il “physics e-print archive”, com’era chiamato all’epoca, arriverà solo nell’Aprile del 1993.

Molti anni più tardi, e precisamente il 28 Dicembre del 1998, il sito acquisterà finalmente il nome arXiv, trasferendosi nel contempo al suo attuale indirizzo. L’idea che sta dietro a tale criptica sigla è che la X maiuscola va pensata come la lettera greca χ, da cui la pronuncia simile a quella della parola inglese «archive». Per la cronaca, il nome più ovvio di “archive” dovette essere scartato perché nel frattempo all’indirizzo archive.org si era già stabilmente insediato l’Internet Archive: ecco un caso in cui persino l’essere nati prima ancora del web non è stato sufficiente ad assicurarsi il nome di dominio che si desidera!

«The arXiv could well end up as string theorists’ greatest contribution to science.» (David Mermin)